¿Cuáles son las propiedades del triángulo?

Las desigualdades del triángulo

Para construir un triángulo, es necesario respetar la desigualdad de las longitudes de los lados: para cada lado, su longitud es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. Los triángulos planos se caracterizan por la igualdad de esta desigualdad. Para verificar esta desigualdad, basta con comparar la mayor longitud con la suma de las otras dos. Utilizando este método, es posible construir un triángulo trazando un segmento de una longitud dada, luego dibujando dos círculos centrados en los extremos de este segmento y teniendo como radio las otras dos longitudes. Los dos círculos tendrán dos puntos de intersección, y cualquiera de estos dos puntos define el triángulo de dimensiones deseadas con el segmento inicial.

La suma de los ángulos del triángulo

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°, una propiedad característica de la geometría euclidiana. Sin embargo, existen otras geometrías, como la geometría elíptica o hiperbólica, donde la suma de los ángulos de un triángulo puede ser mayor o menor a 180°. Es posible construir un triángulo con medidas de ángulos dadas, trazando un segmento, y formando los ángulos deseados con semirrectas en cada extremo del segmento. Las dos semirrectas tendrán un punto de intersección donde el ángulo interior será el tercer ángulo deseado.

Los casos singulares del triángulo

Un triángulo degenerado es un triángulo donde al menos dos vértices están confundidos. Un triángulo plano es un triángulo cuyos vértices están alineados. Un triángulo isósceles tiene al menos dos lados de la misma longitud, con los ángulos adyacentes teniendo la misma medida. Un triángulo equilátero tiene todos sus lados de la misma longitud y sus ángulos tienen todos la misma medida de 60°, con tres ejes de simetría. Un triángulo escaleno no es ni isósceles ni plano y también puede ser rectángulo. El adjetivo “escaleno” no significa “cualquiera”, un triángulo cualquiera puede poseer propiedades particulares, mientras que un triángulo escaleno no puede ser ni isósceles ni equilátero.

Un triángulo que tiene un ángulo recto se llama triángulo rectángulo. Satisface el teorema de Pitágoras. Si tiene un ángulo obtuso, se le conoce como triángulo obtusángulo o amblígono. Si todos los ángulos son agudos, se le conoce como triángulo acutángulo u oxígono. Existen triángulos particulares como el medio cuadrado, el triángulo de los agrimensores, el triángulo del escolar, el triángulo de oro, el triángulo heptagonal y el triángulo de Kepler que tienen características únicas en términos de longitud de lado y ángulos. Un triángulo que se divide en dos triángulos isósceles por una de sus bisectrices se llama un triángulo bisósceles. Solo el medio cuadrado y el triángulo de oro pueden tener esta propiedad.

Las relaciones de los triángulos semejantes

Dos triángulos se dicen semejantes si tienen las mismas medidas de ángulo. No son necesariamente isométricos, pero sus longitudes de lado son proporcionales con un mismo coeficiente de proporcionalidad k. Sus áreas están entonces relacionadas por un factor k2. Existe una similitud (compuesta de una isometría y una homotecia) que permite transformarlos uno en el otro. Esta definición equivale a decir que los tres ángulos de los dos triángulos tienen las mismas medidas (AAA) o que las longitudes de los lados de los dos triángulos son proporcionales. Cabe destacar que dos triángulos isométricos son siempre semejantes y dos triángulos equiláteros también.

¿Cuáles son las utilizaciones del triángulo?

Las relaciones métricas en un triángulo pueden utilizarse para evaluar distancias en navegación, geodesia y astronomía. Utilizando este principio, el meridiano terrestre fue medido para definir el metro. En geometría, el área de un dominio puede descomponerse en una serie de triángulos disjuntos. Esta técnica se utiliza en análisis numérico para el método de los elementos finitos y en imagen digital.

Existen varios poliedros (regulares o no) que tienen caras triangulares, como el tetraedro, el octaedro, el icosaedro y el gran icosaedro. Los poliedros cuyas caras son todos triángulos equiláteros se llaman deltaedros. Finalmente, todo polígono puede ser cortado en un número finito de triángulos, formando así una triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para este corte es de n-2, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para comprender los otros polígonos, como para la demostración del teorema de Pick.

¿Cuáles son las construcciones geométricas asociadas al triángulo?

La construcción geométrica del triángulo mediano

Si se conectan los puntos medios de los lados de un triángulo, se forman cuatro triángulos semejantes al triángulo inicial. El triángulo central, llamado triángulo mediano, tiene sus vértices en los puntos medios de los lados del triángulo inicial y su superficie es igual a un cuarto de la del triángulo inicial. También se le conoce como triángulo ceviano del centro de gravedad. Según el teorema de los medios, los lados de este triángulo son paralelos a los del triángulo inicial y tienen longitudes proporcionales en una relación de 1/2.

El centro del círculo circunscrito y las mediatrices

Si un triángulo no es plano, existe un punto común a sus tres mediatrices, llamado centro del círculo circunscrito. Está a igual distancia de los tres vértices y a menudo se denota O o Ω. Este centro es el medio de un lado para los triángulos rectángulos y se encuentra dentro o fuera del triángulo según sea acutángulo u obtusángulo. El producto del radio del círculo circunscrito y el área del triángulo es igual a un cuarto del producto de las longitudes de los lados del triángulo.

La ceviana del triángulo

En un triángulo, una ceviana es un segmento de línea que conecta un vértice con su lado opuesto. Las medianas, alturas y bisectrices son ejemplos de cevianas particulares.

Las medianas de un triángulo conectan cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Dividen el triángulo en dos partes iguales. Cuando el triángulo no es plano, las tres medianas se unen en un punto llamado centro de gravedad, a menudo denotado G. Este punto es tanto el isobariocentro de los tres vértices como el centro de masa del interior del triángulo.

Las alturas de un triángulo son líneas que pasan por cada vértice y son perpendiculares al lado opuesto. Cuando el triángulo no es plano, las tres alturas se unen en un punto llamado ortocentro, a menudo denotado H. Un triángulo es rectángulo si y solo si su ortocentro es uno de sus vértices. Para un triángulo acutángulo, el ortocentro se encuentra dentro del triángulo, mientras que está fuera para un triángulo obtusángulo.

Las mediatrices de un triángulo son las alturas de su triángulo mediano, y por lo tanto, el centro del círculo circunscrito a un triángulo es el ortocentro del triángulo mediano. El punto de Longchamps es el simétrico del ortocentro con respecto al centro del círculo circunscrito.

Las bisectrices de un triángulo son semirrectas que dividen los ángulos en dos ángulos de la misma medida. Si el triángulo no es plano, las tres bisectrices se unen en un punto llamado centro del círculo inscrito, a menudo denotado I o J. Es el centro del único círculo que es tangente a los tres lados del triángulo.

El teorema de Steiner-Lehmus afirma que las longitudes de dos bisectrices en un triángulo son iguales si y solo si los ángulos correspondientes tienen la misma medida. Los puntos de contacto del círculo inscrito con los lados forman el triángulo de Gergonne, y los segmentos que conectan estos puntos de contacto con los vértices opuestos se unen en un punto llamado punto de Gergonne.

Cada bisectriz divide el lado opuesto en dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las de los lados del ángulo gracias a la ley de los senos. Por ejemplo, la longitud del segmento de bisectriz que va desde el vértice A hasta el lado BC es: AM = 2(bc/(b+c))cos(A/2) donde b y c designan las longitudes de los lados AC y AB, y A el ángulo en A.