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El octaedro regular es uno de los cinco sólidos platónicos. Se define como un poliedro que tiene 8 caras triangulares equiláteras, 6 vértices y 12 aristas. También se le conoce como un antiprisma triangular y una bipirámide cuadrada. Posee una esfera circunscrita que pasa por sus 6 vértices y una esfera inscrita que es tangente a sus 8 caras. Debido a que tiene 3 vértices por cara y 4 caras por vértice, su símbolo de Schläfli es {3,4}.
La distancia entre 2 vértices opuestos de un octaedro regular es igual a 2a.
El radio de la esfera inscrita en un octaedro regular es igual a a/(2*√2)
La esfera inscrita en un octaedro regular es tangente a cada una de sus 8 caras.
El área de una cara de un octaedro regular es igual a (a^2*√3)/4
El volumen de un octaedro regular es igual a (2a^3)/(3√2)
Los 6 puntos de coordenadas cartesianas de un octaedro regular pueden ser dados por: (±a/2, 0, ±a/2) (0,±a/2,±a/2)
El ángulo diedro de un octaedro regular es de 120 grados, es decir, el ángulo formado por dos aristas adyacentes en un vértice.
Note que el octaedro es un poliedro plano, no tiene radio, por lo que es imposible encontrarlo, y es posible que el área o el volumen puedan variar ligeramente según las fuentes o los métodos utilizados para calcularlos.
El octaedro y el cubo son figuras geométricas relacionadas, lo que significa que se puede obtener uno tomando el esqueleto del otro, es decir, conectando los centros de sus caras.
Además, el grafo que conecta los vértices del octaedro se llama grafo octaédrico. Es notorio que Platón asoció el octaedro con el elemento natural “aire”.
El hiperoctaedro es la generalización del octaedro en n dimensiones. Es uno de los tres únicos politopos que existen en forma regular en todas las dimensiones, junto con el hipercubo y el n-símplex. Los politopos regulares son infinitos solo en las dimensiones 2 y 3, y solo hay 6 en la dimensión 4, como demostró Ludwig Schläfli. El símbolo de Schläfli para un n-octaedro es de la forma {3, 3, 3, … , 3, 4}, con n – 1 cifras 3. Las coordenadas de los vértices de un hiperoctaedro centrado en el origen pueden obtenerse permutando las coordenadas (±1, 0, 0, … , 0, 0).
El hipervolumen de un politopo es su cantidad n-dimensional. Para crear un (n + 1)-octaedro, se conectan los 2n vértices de un n-octaedro a un punto arriba y un punto abajo. Así, al conectar los extremos de un segmento a un punto arriba y un punto abajo, se obtiene un cuadrado regular, y al conectar los vértices de un cuadrado a un punto arriba y un punto abajo, se obtiene un octaedro regular. Un octaedro regular conectado a los puntos arriba y abajo en otra dimensión da un hexadecacoro.
Usando este método, se puede deducir que el hiperoctaedro es una doble hiperpirámide con base hiperoctaédrica de dimensión inferior. En el caso de que sea regular, todos sus vértices se encuentran en una n-esfera circunscrita de radio R_n = a √2/2.
El hipervolumen de un n-octaedro regular de arista a está dado por la fórmula V_n = (a √2)^n/(n!)*2, donde V_n es el hipervolumen en dimensión n. Ejemplos: el área de un cuadrado es V_2 = a^2, el volumen del octaedro regular es V_3 = a^3 √2/3, el hipervolumen del hexadecacoro es V_4 = a^4/6, etc. (Se supone que solo el hiperoctaedro de dimensión 1 (segmento) tiene una arista de longitud diferente de a).
El octaedro es uno de los sólidos platónicos y está asociado con el elemento del aire. Está compuesto por ocho caras triangulares equiláteras. Está vinculado al chakra del corazón (Anahata) ubicado a nivel del esternón, y se considera relacionado con las emociones y el amor incondicional. Se considera que tiene efectos calmantes y equilibrantes sobre el sistema nervioso. Favorece nuestra capacidad para concentrarnos y calmarnos, permite nuestra orientación en el tiempo y el espacio. Actúa como una brújula para ubicar las seis direcciones cardinales y permite solidificar los lazos entre la tierra y el cielo. Está asociado con el color verde y con piedras como la esmeralda, la aventurina, el jade, la amazonita o el ópalo. Mejora las relaciones con uno mismo y con los demás, y puede dar energía adicional.
El octaedro es un sólido platónico compuesto por 8 caras triangulares equiláteras, 6 vértices y 12 aristas. Está asociado con el elemento del aire y está vinculado al 4º chakra, el del corazón. Tiene propiedades energéticas que pueden ayudar a sanar las heridas emocionales, abrir el corazón y desarrollar el amor incondicional. Equilibra las polaridades yin y yang y amplifica las energías de las seis direcciones cardinales para difundirlas por sus 8 caras. También representa la unión entre el cielo y la tierra, los principios masculino y femenino y la sombra y la luz. Colocado con su punta hacia abajo, difunde energías de amor, equilibrio y paz. Puede ser particularmente útil para personas con heridas de traición o carencias afectivas, ayuda a amarse a uno mismo y a respetar a los demás, a desarrollar la tolerancia, mejorar la sintaxis y la expresión oral de sus sentimientos o ideas.
El octaedro es una forma tridimensional que se refleja a sí misma y está asociada con el elemento del aire. Está vinculado al chakra del corazón, que es el centro del amor y la compasión. Al usar el octaedro, podemos comprender mejor y conectarnos con nuestra naturaleza espiritual. Algunos cristales, como el granate grossularia, la fluorita y la magnetita, tienen una estructura octaédrica.
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