El Icosaedro, 5º de los 5 sólidos de Platón, su historia, sus significados, sus símbolos en geometría sagrada y sus beneficios

¿Qué es un icosaedro?

En geometría, un icosaedro es un sólido tridimensional que pertenece a la familia de los poliedros. Tiene exactamente veinte caras. El nombre icosaedro proviene del griego “icos” que significa veinte. Hay varios tipos diferentes de icosaedro como el icosaedro regular convexo, el icosaedro rómbico, el pseudo-icosaedro, el gran icosaedro y los sólidos de Johnson.

Historia del icosaedro

En su obra titulada Timeo, Platón asoció los cinco poliedros regulares convexos a diferentes elementos del universo. Atribuyó el icosaedro al agua, debido a su gran número de caras y vértices que lo hacen el más estable entre los otros cuatro. También notó que para crear un elemento de agua, era necesario combinar dos y medio elementos de aire, y que este elemento podía ser destruido por el fuego creando cinco elementos de fuego. Platón también consideró que materiales como el oro, el diamante y el bronce forman parte de este elemento. También hay un icosaedro encontrado en una tumba romana en Aléria en Córcega que puede ser visto en el museo de Aléria.

¿Cuál es la geometría del icosaedro regular convexo?

Propiedades del icosaedro

Un icosaedro es un poliedro de 20 caras, 12 vértices, y 30 aristas. Tiene 1 vértice en la parte inferior, y 5 vértices cada uno en la base inferior y la base superior de los dientes que se describen en la primera construcción. Cada vértice del icosaedro está conectado a 5 aristas, dando un total de 60 aristas, pero debido a la relación de cada arista con 2 vértices, el número de aristas se divide por 2 para llegar al resultado final de 30.

Un poliedro posee segmentos más grandes que tienen ambos extremos conectados a los vértices del poliedro. Hay 6, y la intersección de estos segmentos es un punto llamado el centro del poliedro. Este punto es también el centro de gravedad del sólido. También existen 10 segmentos que tienen ambos extremos en la superficie del poliedro, pasando por el centro y teniendo la longitud mínima. Los extremos de estos segmentos son los centros de dos caras opuestas que son paralelas entre sí.

La figura 4 muestra que un cubo contiene todos los elementos estructurales de un poliedro regular. Cada una de sus caras incluye dos vértices y una arista del poliedro, con 6 caras totales, también contiene los 12 vértices. La estructura de este poliedro es regular porque todas las aristas tienen la misma longitud, los ángulos formados por dos aristas de una misma cara y compartiendo un mismo vértice son iguales a 60 grados o π/3 en radianes. También es constante el número de aristas que comparten un mismo vértice, cualquiera sea el vértice elegido. Se trata de un poliedro regular. Esto significa que un segmento que tiene ambos extremos en el interior del sólido está íntegramente en el interior de este sólido, haciendo así el icosaedro convexo. También es notable que una banda elástica que rodea el sólido lo toca en cada punto, es equivalente a lo mencionado anteriormente. Es importante notar que los poliedros regulares no siempre son convexos y los poliedros regulares convexos son llamados sólidos de Platón.

Simetría del icosaedro

Las isometrías afines dejan un poliedro globalmente inalterado cuando la imagen del sólido obtenida por la isometría ocupa exactamente la misma posición que el original. Los vértices, las aristas y las caras pueden ser permutados, pero la posición global permanece igual. El determinante de una isometría vale ya sea 1 o -1. Todas las isometrías de un poliedro fijan su centro. Las isometrías cuyo determinante es igual a 1 (o desplazamientos), llamadas las “simetrías propias” del poliedro, son rotaciones y aquellas cuyo determinante es igual a -1, llamadas las “simetrías impropias” son las compuestas de una simetría propia (si existe) y estas rotaciones.

El eje de una rotación de un poliedro debe pasar por el centro del poliedro y puede pasar ya sea por un vértice, ya sea por el medio de una arista, ya sea por el medio de una cara. Si se estudian las rotaciones de ángulo no nulo cuyo eje contiene el centro de una arista, tal rotación intercambia los dos vértices de la arista, por lo que se trata de un medio giro. En la figura 5, los vértices del icosaedro están agrupados en planos perpendiculares al eje de rotación, destacando cinco conjuntos: los dos extremos que están compuestos de dos puntos formando las aristas que delimitan el sólido y que cruzan en su medio el eje estudiado, dos conjuntos de dos puntos que se encuentran en dos líneas perpendiculares tanto a los segmentos azules como al eje de rotación, y finalmente cuatro puntos en el medio del poliedro formando un rectángulo. Estas cinco figuras son invariantes por una rotación de medio giro, por lo que existe una rotación de medio giro para cada par de aristas opuestas, para un total de 15 rotaciones de medio giro, ya que hay 30 aristas.

Se pueden agrupar los 15 medios giros en grupos de tres utilizando rotaciones de ejes perpendiculares que conmutan. La figura 6 muestra una rotación cuyo eje pasa por el centro de dos caras opuestas. Esta rotación intercambia los tres vértices de cada cara, por lo que es un tercio de giro. Utilizando la misma técnica, se pueden agrupar los vértices en cuatro conjuntos. Los dos conjuntos extremos son caras, que son triángulos equiláteros del mismo tamaño, pero girados de medio giro uno respecto al otro. Los dos conjuntos centrales, en violeta en la figura, son también triángulos equiláteros, más grandes. Para hacer coincidir dos triángulos situados uno al lado del otro, se debe hacer una rotación de medio giro.

Hay 20 rotaciones de un tercio de giro, dos por par de caras, en el sólido descrito. La figura 7 muestra una rotación cuyo eje pasa por dos vértices opuestos. Esta rotación intercambia las cinco aristas que pasan por cada vértice, por lo que es un múltiplo de un quinto de giro. Utilizando la misma técnica, los vértices pueden ser agrupados en cuatro conjuntos. Los dos conjuntos extremos son puntos únicos, y los dos conjuntos más cercanos al centro forman cada uno un pentágono regular. Los dos pentágonos son del mismo tamaño pero están desplazados de un medio giro. Existen 4 rotaciones de ejes que pasan por dos vértices que dejan globalmente el sólido inalterado, ignorando la rotación de ángulo nulo. Hay 12 vértices y 6 ejes que contienen dos vértices opuestos, por lo que existen 24 rotaciones de esta naturaleza.

Las ilustraciones anteriores han mostrado que la simetría central deja el sólido globalmente inalterado. Además, toda roto-inversión de ángulo α (una rotación de ángulo α seguida de una simetría de centro un punto del eje) es equivalente a una antirotación de ángulo α + π (una rotación de ángulo α + π seguida de una reflexión respecto a un plano perpendicular al eje). Esto significa que una roto-inversión con un ángulo α = π es equivalente a una reflexión.

¿Cuáles son las figuras notables del icosaedro?

Las simetrías de orden 3 y 5 introducen figuras geométricas planas relacionadas con estas simetrías. Cuando se habla de simetría plana de orden 3, se refiere al grupo de simetría formado por el triángulo equilátero. Estas simetrías pueden observarse en el icosaedro construyendo triángulos equiláteros con los diferentes vértices del sólido. Cada eje que atraviesa el centro de dos caras opuestas contiene 4 de estos triángulos equiláteros, de los cuales 2 forman caras, y los otros 2 tienen un lado proporcional a la razón extrema y media respecto a una arista del poliedro. Hay 12 pequeños triángulos equiláteros y tantos grandes para cada par de caras.

El número áureo está relacionado con una rotación de orden 5 y con la proporción de las dimensiones de un pentágono. Para cada eje que conecta dos vértices opuestos, se pueden observar dos pentágonos cuyos planos son ortogonales al eje. Cada uno de los vértices del pentágono es también un vértice de dos triángulos áureos de geometrías diferentes. Los triángulos áureos son isósceles y tienen lados en proporción de razón extrema y media. Existen dos tipos de triángulos áureos: aquellos que tienen dos lados grandes (gris en la figura 8) y aquellos que tienen dos lados pequeños (amarillos). Los vértices de cada pentágono son adyacentes a dos lados iguales de un triángulo áureo de cada tipo. Hay 2 pentágonos, es decir, 10 vértices y 20 triángulos áureos. Existen 6 ejes diferentes que pasan por dos vértices opuestos, para un total de 120 triángulos áureos.

También se pueden encontrar rectángulos áureos, es decir, rectángulos cuyas longitudes y anchuras tienen una relación igual al número áureo. Hay exactamente 1 rectángulo áureo por lado del pentágono, con un segundo lado que se encuentra en el otro pentágono. Se puede ver un ejemplo en verde en la figura 8. Existen 5 pares de aristas de esta naturaleza para cada par de pentágonos, lo que da un total de 30 rectángulos áureos.

¿Qué es un poliedro dual?

Es posible construir un nuevo poliedro utilizando como vértices los centros de las caras de un poliedro regular inicial. Este nuevo poliedro se llama el dual del poliedro inicial, y también es un sólido de Platón. Por ejemplo, si se toma un icosaedro, el dual tiene 20 vértices y cada cara es un pentágono regular porque cada vértice es compartido por 5 aristas, creando así un dodecaedro regular convexo. Inversamente, el dual de un dodecaedro es un poliedro regular convexo con 12 vértices, con caras en triángulos equiláteros, que es reconocido como el icosaedro. Esta propiedad es válida para todos los poliedros, ya que el dual del dual de un poliedro es una homotecia del sólido inicial.

Es de notar que las simetrías que dejan globalmente inalterado un icosaedro, también dejan inalterado el conjunto de los centros de las caras de este, lo que implica que toda simetría del icosaedro es también una simetría del dodecaedro. De igual manera, toda simetría del dodecaedro es también una simetría del icosaedro. Los dos conjuntos de isometrías, asociados a los dos poliedros duales son por lo tanto idénticos, aquí el término de simetría se utiliza para describir una isometría.

Símbolos y beneficios del icosaedro

El icosaedro es el 5º sólido de Platón: contiene 12 vértices, 30 aristas y 20 caras en triángulos equiláteros perfectamente idénticos. Este 3er sólido está asociado al elemento del agua y al chakra Svadhisthana o chakra sacro situado a 3 dedos por debajo del ombligo. Su poderosa energía permite apaciguar los demonios interiores y favorecer la claridad mental. 

El icosaedro es el asiento de la estabilidad, la gestión emocional y la conciencia social. Esta figura de Platón también está ligada a la sexualidad, al placer y a la alegría de vivir. 

El icosaedro está vinculado al color naranja y a las piedras preciosas y naturales como la calcita naranja, el ámbar, el ópalo de fuego, la piedra del sol o la cornalina.

Esta figura posee propiedades tranquilizantes. Calma los miedos, las dudas y elimina las secuelas de traumas antiguos. Mejora la capacidad de memorización y comunicación.

Representa el elemento Agua y trabaja sobre el 5º chakra. Tiene 12 vértices y 30 aristas y posee 20 caras que son triángulos equiláteros.

A imagen del agua en movimiento, permite desbloquear situaciones trabajando sobre las emociones. Invita a la alegría y permite que las energías circulen libremente en el cuerpo.

Su onda de forma es una especie de antena emisora y receptora que permite transmitir mejor la información, amplifica las energías sutiles y ofrece un acceso más fácil a nuestro subconsciente y a nuestras capacidades de telepatía.

Colocado en una casa, simplifica las relaciones entre los habitantes y mejora la armonía familiar.

Es ideal en caso de inestabilidad emocional, gran emotividad, timidez, trastornos sexuales, memoria relacionada con la sexualidad, trastornos del apetito, miedos irracionales, traumas pasados.