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Las espirales constituyen en geometría plana una familia de curvas con una apariencia similar: una parte de la curva parece girar alrededor de un punto fijo mientras se acerca a él, mientras que el otro extremo parece alejarse.
Una curva plana, cuya ecuación polar es de la forma ρ=f(θ), donde f es una función monótona, se llama espiral.
Un ejemplo de espiral cónica es aquella cuya base es una espiral de Arquímedes. El término espiral también se utiliza para designar curvas en tres dimensiones, que giran alrededor de un eje acercándose o alejándose, como las espirales cónicas o la hélice circular que permanece a una distancia fija.
La forma de la espiral se encuentra en muchos aspectos de la naturaleza y ha inspirado a artistas y escritores de todas las épocas.
Las espirales en dos dimensiones han sido estudiadas desde el siglo III a.C. como resultado del movimiento mecánico de un punto que se desplaza sobre una línea que gira alrededor de un punto. Desde entonces, se han descubierto nuevas curvas con formas diversas a lo largo de los problemas geométricos y físicos que se plantean los matemáticos.
Es difícil encontrar una definición general de una espiral, aunque los autores coinciden en que se trata de la trayectoria de un punto que gira alrededor de un centro mientras se aleja o se acerca. Según algunas definiciones, la espiral es una línea curva trazada de manera que siempre se aleja de su punto de partida, haciendo alrededor de este punto una o varias revoluciones. Según otras definiciones, las espirales son las curvas que genera un punto que gira alrededor de otro alejándose o acercándose cada vez más a este centro.
Si f es una función creciente, la curva de ecuación polar ρ=f(θ) es una espiral. Una espiral plana se define como una curva que tiene una ecuación polar de la forma ρ=f(θ), con f monótona. La porción de curva recorrida por el punto cuando realiza un giro completo alrededor del centro se llama una espira.
Existen dos grandes familias principales de espirales definidas por su ecuación:
También se pueden construir espirales por partes utilizando arcos de círculos o segmentos de líneas rectas. Las espirales con múltiples centros se utilizan para trazar volutas, mientras que las espirales trazadas con segmentos de líneas rectas se llaman espirángulos. También es posible construir espirales utilizando medios mecánicos: por ejemplo, enrollando una cuerda alrededor de un árbol y desenrollándola mientras se mantiene la cuerda tensa, se puede dibujar una espiral cercana a una desarrollante del círculo.
En tres dimensiones, muchas curvas alabeadas se califican de espirales o hélices debido a su enrollamiento alrededor de un eje mientras se alejan o se acercan constantemente. A menudo, su proyección ortogonal sobre un plano perpendicular al eje dibuja una espiral plana o un círculo. Los sólidos de revolución permiten trazar espirales en su superficie, y se pueden distinguir varias grandes familias de estas curvas sin ser disjuntas ni exhaustivas.
La primera familia es la de las hélices, que son curvas cuya tangente forma un ángulo constante con un eje fijo. Las hélices cilíndricas se dibujan en un cilindro (incluyendo la hélice circular), las hélices cónicas se dibujan en un cono y las hélices esféricas también están presentes en esta familia.
La segunda familia es la de las espirales cónicas, cuya proyección en el plano base es una espiral. El cono de revolución se utiliza a menudo para su construcción, entre las cuales se encuentra la hélice cónica o conchospiral que se proyecta en una espiral logarítmica, así como la espiral de Pappus cónica que se proyecta en una espiral de Arquímedes.
La última familia es la de las espirales esféricas, que son curvas que giran en un hemisferio y que también presentan el aspecto de espirales. Las curvas de esta familia incluyen algunas clélies como la espiral de Pappus esférica, la hélice esférica cuyas tangentes forman un ángulo fijo con el eje de la esfera, y las loxodromias, a veces calificadas de espirales, cuyas tangentes forman un ángulo fijo con los meridianos.
Formas que evocan las de la espiral están presentes en todas las escalas de la vida y del mundo físico. La primera ocurrencia está asociada a un crecimiento en combinación con un movimiento giratorio. Las formas de conchas de caracoles o gasterópodos, que se desarrollan de manera orientada, presentan una espiral bien conocida y bien visible – cada especie se distribuye principalmente según un tipo levógiro (mirando el caparazón la punta colocada hacia adelante y la apertura hacia atrás, las espiras giran en el sentido trigonométrico) o dextrogiro (las espiras giran en el sentido horario). Los cuernos de cérvidos, como los de los carneros y las antílopes, ofrecen hermosos desarrollos espiralados.
La espiral es un poco menos evidente pero frecuente en botánica, con, por ejemplo, la estructura del brócoli romanesco o de la piña, la disposición espiralada de las semillas del girasol, o el punto de inserción de las hojas en el tallo (el ángulo diedro que pasa por el eje del tallo y dos puntos que se suceden es la divergencia, un valor característico de la especie).
Formas que evocan las de la espiral se encuentran en todas las escalas del ser vivo y del mundo físico. Las conchas de caracoles o gasterópodos, así como los cuernos de cérvidos, ofrecen desarrollos espiralados bien visibles. En botánica, se puede observar la espiral en la estructura del brócoli romanesco, la disposición de las semillas del girasol, o el punto de inserción de las hojas en el tallo.
Otras espirales son el fruto de la adaptación del ser vivo a su entorno. Los animales con cola como el camaleón o el caballito de mar enrollan su apéndice para formar una espiral, al igual que los miriápodos. Las plantas trepadoras dibujan espirales cuando se enrollan alrededor de un tutor o lanzan zarcillos para agarrarse. El espirógrafo despliega sus filamentos en espirales para alimentarse y respirar, mientras que la araña construye su tela procediendo a la construcción sucesiva de dos espirales.
La espiral también está presente en el mundo animal, como en algunos tejidos musculares, así como en el mundo microscópico en algunas bacterias. Las bacterias espiraladas son a menudo patógenas para diversos animales, incluso para el hombre, como los espiroquetas responsables de la sífilis, o las bacterias del género Borrelia responsables de la enfermedad de Lyme. En estas bacterias, la morfología espiralada está a menudo asociada a una motilidad particular, adaptada a los entornos mucilo-gelatinosos, como el moco o el interior del ojo para algunas borrelias. Esta forma espiralada y la motilidad particular de estos organismos parecen conferirles una ventaja selectiva en estos entornos.
En dimensiones aún más pequeñas, el ADN también es espiralado, aunque puede ser desenrollado, pero también existen en las bacterias ADN circulares en anillo. También se puede observar esta curva en la trayectoria de los animales cautelosos que se acercan a su objetivo, en las concentraciones de renos o pingüinos, así como en los vórtices de peces para protegerse de los depredadores o del frío. Este comportamiento está relacionado con las curvas de persecuciones mutuas estudiadas en matemáticas.
La palabra « espiral » proviene del latín « spira » o del griego antiguo « speira », y designa un enrollamiento. En el lenguaje común, el adjetivo « espiral » o « espiralado » designa todas las formas que evocan la espiral matemática, como una escalera en espiral, o que comprenden una serie de circunvoluciones, en dibujo y en arquitectura. Las huellas más antiguas de espirales grabadas por el hombre datan de la cultura paleolítica de Mal’ta cerca de Irkutsk, del valle de Arudy y del túmulo de Newgrange. El significado de la espiral en estas obras sigue siendo oscuro, aunque su frecuencia en el arte celta posterior le da una resonancia religiosa. La espiral también aparece en las obras de arte como elemento figurativo, representando la lana de los carneros, la vegetación, o una representación animal, así como en los monumentos como la estupa de Sanchi en India, los volutas de las columnas jónicas o corintias, y en las iglesias medievales.
En la arquitectura religiosa, se utiliza para simbolizar una ascensión real o espiritual hacia el cielo, como en la mezquita de Samarra, las representaciones de la torre de Babel o los campanarios torcidos. En el siglo XVI, con la figura serpentinata del manierismo, y más aún en el siglo XVII con la llegada del barroco, la espiral evocadora del movimiento cobra importancia, especialmente en la pintura, donde artistas como Albrecht Dürer, Leonardo da Vinci y Peter Paul Rubens la utilizan para dar vida a cabelleras, o al movimiento del agua y del aire. Este uso de la espiral para figurar el movimiento del aire y del agua también se encuentra en la pintura japonesa, y continúa hasta el siglo XIX en artistas como Vincent van Gogh y Nicolò Barabino.
La espiral se manifiesta también en la literatura. Dante Alighieri describe su descenso a los infiernos como un viaje en espiral de círculo en círculo. Edgar Poe, en su relato “Un descenso al Maelstrom”, hace de este fenómeno un descenso a los abismos que suscita terror y admiración y del que se sale transformado como « un viajero regresado del mundo de los espíritus ». Estas dos experiencias están relacionadas con la expresión « espiral infernal » que indica un fenómeno en el que uno es arrastrado y que conduce a una destrucción. Gustave Flaubert tenía el proyecto de un relato titulado “La Espiral”, inspirado por “Los Paraísos artificiales” de Charles Baudelaire, en el que su héroe « enrollaría alrededor del tirso de la realidad la espiral de sueños » provocados por el hachís.
Alfred Jarry, por su parte, hace de la espiral de su padre Ubu un fenómeno en expansión que ilustra los apetitos devoradores de su personaje, pero también su vanidad y su hinchazón. Esta « Gidouille » se convierte en el signo de reconocimiento de los patafísicos. La espiral es un elemento central en la obra del poeta William Butler Yeats (“La segunda venida”, “A vision”, “la Escalera en espiral”). Ilustra la visión de Yeats sobre la evolución de una vida, o más generalmente de la historia de la humanidad, que procedería en espiras sucesivas en una doble escalera cónica que se estrecha y se ensancha.
Es un símbolo poderoso en James Joyce (“Ulises”, “Finnegans Wake”) hasta el punto de que Constantin Brancusi utiliza esta imagen para representar a Joyce (Símbolo de Joyce), o en Samuel Beckett (“El Innombrable”) como una visión concéntrica hacia un aniquilamiento. En filósofos como Hegel y su “Kreislauf” o Roland Barthes, ilustra una concepción de la historia o del mundo. La didáctica utiliza la imagen de una progresión en espiral para evocar el principio de volver sobre una noción en círculos sucesivos a niveles crecientes de conocimiento y dominio.
El origen de la hermosa forma en espiral de las galaxias provendría de sus campos magnéticos, como lo reveló el Observatorio astronómico de la NASA a partir de la observación de una galaxia en espiral situada a 47 millones de años luz de la Tierra. La cuestión de cómo se formaron estas espirales ha intrigado durante mucho tiempo a los científicos, pero observaciones del Observatorio estratosférico de astronomía infrarroja (SOFIA) de la NASA podrían haber encontrado la respuesta. Al igual que la Vía Láctea, la galaxia NGC 1086 está formada por dos largos brazos en espiral que se extienden desde su centro. Los astrónomos han concluido que campos magnéticos invisibles serían los responsables de esta forma en espiral, en complemento de la gravedad que juega un papel importante en la formación de las galaxias.
Los campos magnéticos se alinean con los brazos en espiral y tienen más influencia en la forma de las galaxias de lo que se pensaba. Los campos magnéticos gigantes influyen en la evolución de las galaxias, lo que es una prueba adicional que viene a consolidar la teoría llamada de las “ondas de densidad”. Los brazos de las galaxias se ven forzados a adoptar esta forma en espiral debido a la alineación entre gravedad y magnetismo, pero el papel de los campos magnéticos en su desarrollo aún se comprende poco. El Dr. Enrique Lopez-Rodriguez, astrónomo en el SOFIA Science Center de la NASA, prevé otros anuncios similares en los próximos meses para respaldar estas primeras observaciones.
Desde siempre, la espiral ha sido representada, desde los primeros pueblos hasta las maravillas de la naturaleza. Su forma se refleja en el macrocosmos de la inmensidad del universo mismo. En las tradiciones autóctonas, la espiral era el símbolo del origen energético, la madre originaria. Se remonta a una época en la que los humanos estaban más conectados a la tierra, a las espirales y a los ciclos naturales. La espiral es la clave de la inteligencia del logos y del origen del sonido original OM, y el número áureo, o la proporción divina, es el mayor secreto de la naturaleza. Prana, o la fuerza creativa, hace girar Akasha en un continuo de formas sólidas. La espiral originaria no es una idea, sino más bien lo que hace posible toda condición y toda idea.
Platón consideraba que el alma del mundo se unía en una resonancia armónica. La espiral áurea, una espiral logarítmica equivalente a la espiral del número áureo, es observable en la naturaleza bajo la forma de la serie o la secuencia de Fibonacci. Según la espiral de vida, bailar sería la capacidad de materializar la espiral de Akasha danzante, vinculada a la capacidad de percibir la belleza y la simetría en la naturaleza. El misterio es la cosa más hermosa que se puede sentir, el origen de todo arte y de toda ciencia verdadera. Aquel que no siente esta emoción, que ya no puede hacer una pausa para maravillarse y dejarse impresionar, no vale más que la muerte, tiene los ojos cerrados. – A.Einstein.
El poeta William Blake escribió que el universo vegetal se abre como una flor desde el centro terrestre, donde se encuentra la eternidad, y se extiende desde las estrellas hasta el banal caparazón, donde vuelve a encontrar la eternidad, en el interior y en el exterior. La espiral nos conecta a nuestro centro, a nuestro “hara”, que es la intuición conectada a una fuente energética. Una persona conectada a su centro está conectada a la tierra y a la sabiduría intuitiva de todos los seres. Los aborígenes pensaban con su vientre, donde se encontraba el cordón de la gran serpiente arcoíris, una representación de la energía evolutiva del humano.
Hoy en día, los humanos intentan comprender la espiral con una mente racional, sin pensar nunca en conectarse a la espiral de la vida. Alinearse con su pleno potencial de evolución consiste en equilibrar la fuerza de la espiral con la calma de su conciencia como testigo. El canal femenino o lunar “Ida” está conectado al hemisferio derecho del cerebro, mientras que el canal masculino o solar “Pingala” está conectado al hemisferio izquierdo del cerebro. Cuando estos dos canales se equilibran, la energía sube por un tercer canal, “sushumma”, a lo largo del centro de la columna vertebral, estimulando los chakras y liberando así el pleno potencial evolutivo.
Muchos motivos espiralados, así como el del serpiente, simbolizan el movimiento y la energía propios del misterio del Universo y de su creación, tales como el verbo original, la vibración, el ciclo, la evolución, la fertilidad, el recomienzo, la regeneración, la iniciación…
La concha del caracol de tierra o de mar es un glifo universal, cuya espiral se vincula a la temática de la fecundidad lunar y acuática, así como a la fertilidad. En las iconografías tradicionales, la idea de fertilidad se asocia también a las imágenes de los cuernos y de la doble voluta. El simbolismo de la concha espiralada se refiere a la Luna y al sexo femenino. En muchas culturas, se da significado a la concha, que por otro lado también evoca la permanencia del Ser en los cambios inherentes a la temporalidad…
También se encuentra un motivo de espiral cuyas espiras están estriadas con regularidad, en analogía con la concha del caracol, expresando un principio de alternancia. Alternancia del día y de la noche, del bien y del mal, dualidad en la vida del ser humano… La concha espiralada del caracol también se utiliza para preparar medicinas cuyo doble uso, remedio o veneno, puede resultar beneficioso o perjudicial…
Las ilustraciones presentadas incluyen una representación de un serpiente enrollado en espiral, bronce, aplique, de la dinastía de los Zhou orientales, que data de 770 a 256 a.C., en la antigua China, así como una concha en espiral de caracol y una cerámica con un motivo espiralado en cerámica de cinta, que data del Neolítico en Francia.
La espiral es un símbolo presente en muchas culturas alrededor del mundo. A menudo se asocia con la fecundidad, la vida y el movimiento. En el arte prehistórico europeo, a menudo se asociaba con formas femeninas y adornos. En África, la espiral se asocia con la vida, el movimiento de las almas y la creación del mundo. A menudo se representa por la serpiente enrollada, símbolo de la fecundidad y del movimiento cíclico de la vida. En los Dogones y los Bambaras de Malí, la espiral que rodea una cerámica simboliza el verbo original, la primera palabra divina del dios Amma que corresponde al Espíritu y a la semilla divina. La espiral también se asocia con la tormenta, la lluvia fecundante y los cambios lunares. La doble espiral en S simboliza estos cambios, así como la fecundidad relacionada con el tema tormenta-trueno-relámpago. Finalmente, en los pueblos africanos, se encuentran imágenes sexuales simbólicas de enrollamiento en espiral alrededor de la matriz para fecundarla.
El juego del serpiente Mehen, presente en los textos sagrados del antiguo Egipto, hace referencia a la divinidad serpiente epónima que protegía la barca solar durante el viaje nocturno y subterráneo del dios Sol antes de su renacimiento al amanecer. Este juego se representa en forma de una mesa circular y toma su nombre de la palabra “Mehen” que significa “enrollar” o “aquel que está enrollado”. De hecho, el tablero del juego está grabado con una imagen de serpiente dibujando un circuito espiralado, la cabeza estando en el centro y la cola en el exterior. El cuerpo de la serpiente está dividido en varias casillas, y el juego se juega con piezas en forma de bolas y leones. El juego del serpiente Mehen ya estaba presente en la época predinástica, antes de desaparecer misteriosamente al final del Imperio Antiguo. Su configuración recuerda a la del juego de la oca.
En la tradición egipcia, el serpiente Atoum-Rê también está presente tanto al comienzo como al final de los tiempos. Atoum-Rê a veces se representa en forma de un serpiente con cabeza de carnero y emerge del Noun, el océano primordial, antes de crear a los dioses, el mundo y la vida. En el Libro para Salir al Día (llamado Libro de los Muertos), Atoum-Rê explica que sobrevivirá a su creación y que, cuando llegue el momento del regreso a la inmensidad acuática originaria, la tierra retomará el aspecto del océano primordial y de las aguas infinitas como en su estado primero. Atoum-Rê se retransformará en un serpiente que ningún hombre conoce y que ningún dios ve. Los mitos del serpiente cósmico “que permanece” y del océano primordial también se encuentran en la mitología del hinduismo. El juego del serpiente Mehen, por su parte, se representa en diferentes formas en las tumbas de los reyes Peribsen y Seneb en Abidos y en otros sitios del antiguo Egipto.
Ananta, el serpiente cósmico enrollado en espiral, sostiene a Vishnu en la mitología del hinduismo. El nombre del serpiente, Shesha, significa “Resto” o “aquel que permanece”, y también se le llama Ananta, lo que significa “Sin fin” o “Infinito”. Sobre sus anillos, Vishnu reposa antes del advenimiento de un nuevo ciclo cósmico (Kalpa).
Ananta se representa como un inmenso cobra de múltiples cabezas cuyos amplios capuchones albergan a Vishnu, y simboliza el potencial de Ser que permanece después de que el mundo y sus habitantes han sido formados y extraídos de las aguas primordiales. El serpiente cósmico es la base sobre la que reposa el cosmos y la Tierra, que sostiene y rodea con sus anillos.
Cuando un Kalpa termina, el universo no se aniquila completamente, sino que es destruido por la danza cósmica del dios Shiva para dar paso a una nueva era gracias a Vishnu el preservador. Entre dos eras cósmicas, el serpiente Shesha-Ananta forma un lecho de sus anillos sobre el cual reposa el dios Vishnu sumido en un sueño yóguico. Del ombligo de Vishnu surge un loto, y del loto emerge Brahmâ, el dios creador que permite una recreación del mundo.
Brahmâ confía a Ananta la responsabilidad de sostener la Tierra. Ananta se concentra en el dharma, la ley en su forma más noble, que asegura el orden del mundo. Se le considera el más sabio, el más virtuoso y el más poderoso de los serpientes míticos.
En el templo de Malinalco en México, santuario del dios Tlaloc, se pueden observar losas esculpidas en alto relieve que representan un motivo de espiral y un laberinto. Es posible que estos motivos estén relacionados con el escurrimiento de las aguas, y así con la fecundidad de las tierras y los cereales.
El dios Tlaloc, también conocido como « El Goteante », era considerado el más poderoso de los dioses precolombinos. Los aztecas le ofrecían sacrificios humanos para obtener su protección y sus favores en materia de lluvia, relámpagos, tifones y campos. Tlaloc jugaba un papel crucial en la fecundidad de las tierras y los cereales, pero también en la protección contra los huracanes y algunas enfermedades. Una losa esculpida que representa un motivo de espiral, encontrada en el santuario de Tlaloc en el templo de Malinalco, da testimonio de la riqueza del arte precolombino mexicano.
La espiral áurea, derivada del tema epónimo, se puede obtener a partir de un rectángulo áureo, que se define como aquel que tiene una relación longitud-ancho igual a Phi. Para ello, se retira un cuadrado correspondiente al ancho del rectángulo, lo que permite obtener un rectángulo áureo más pequeño que conserva las mismas proporciones. Luego se puede repetir esta operación de manera indefinida, retirando cada vez un cuadrado del rectángulo áureo más pequeño obtenido. Al unir los lados opuestos de los cuadrados así formados, se obtiene una espiral logarítmica, comúnmente llamada espiral áurea. Las longitudes de los lados de un rectángulo áureo son inconmensurables, lo que significa que su relación no puede expresarse mediante un número entero o una fracción. Esta espiral áurea está presente en muchas formas de la naturaleza como las vides, las escamas de piñas o de piñas de pino, los girasoles, los follajes y los pétalos, así como en los caparazones.
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