La esfera, su origen, su representación, sus significados, sus símbolos en geometría sagrada y sus beneficios

¿Qué es una esfera?

En geometría tridimensional, una esfera es un conjunto de puntos que se encuentran a igual distancia de un punto central llamado el centro. La distancia del centro a cualquier punto en la esfera se llama el radio de la esfera. El estudio de las propiedades de las esferas se llama geometría esférica. Se puede aproximar la superficie de la Tierra por una esfera con un radio de aproximadamente 6 371 km.

En matemáticas, una esfera en un espacio métrico es un conjunto de puntos que se encuentran a igual distancia de un punto central. Las esferas pueden tener una forma diferente de la esfera tradicional. Una esfera también puede ser un elipsoide degenerado. Una bola es una esfera llena cuya distancia de todos los puntos del centro es menor o igual al radio.

¿Qué es la esfera euclidiana?

Durante un largo período, el término “esfera” se utilizó comúnmente para referirse tanto a la superficie como al sólido que engloba. Hoy en día, el término “esfera” se utiliza exclusivamente para describir la superficie, mientras que el sólido se llama “bola”.

Otros términos necesitan ser precisados:

• Dos puntos antipodales son puntos opuestos diametralmente en la esfera. En la esfera terrestre, son los polos.
• Una zona esférica es la parte de la esfera comprendida entre dos planos paralelos.
• Una calota esférica es una zona esférica en la que uno de los planos es tangente a la esfera.
• Un segmento esférico es un sólido delimitado por dos planos paralelos y la zona esférica que determinan.
• Un huso esférico es una figura trazada en la esfera por dos semicírculos mayores con los mismos extremos.
• Un gajo esférico es un sólido cortado en una bola por un diedro, como un gajo de naranja.
• Un triángulo esférico es una figura trazada en la esfera formada por tres puntos unidos por arcos de semicírculos mayores.
• Un polígono esférico es una figura trazada en una esfera, formada por varios puntos unidos por arcos de círculos mayores.
• Un sector esférico es un sólido delimitado por una calota esférica y el cono circular generado por las semirrectas de origen el centro del círculo y apoyándose en la calota esférica.
• Un círculo mayor es un círculo trazado en la esfera con el mismo radio que la esfera misma. Siempre pasa por dos puntos antipodales. Los meridianos de la esfera terrestre son círculos mayores. Los paralelos también son círculos trazados en la esfera, pero sus radios son generalmente más pequeños que el de la esfera, por lo que no son círculos mayores.

Las ecuaciones de la esfera

Las ecuaciones de la esfera se dan en función de su centro (x0, y0, z0) y su radio r. Usando un sistema de coordenadas ortonormado, una esfera de centro (x0, y0, z0) y radio r puede definirse como el conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuación: (x – x0)² + (y – y0)² + (z – z0)² = r²

Es una ecuación de la forma: (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r² donde (a, b, c) son las coordenadas del centro de la esfera.

Las fórmulas de la esfera

• Área de la esfera de radio r: 4πr²
• Volumen de la esfera de radio r: (4/3)πr³
• Compacidad de la esfera de radio r: la compacidad de una esfera es de 1, lo que significa que es la forma más compacta posible para un objeto de volumen dado.
• Momento de inercia de una esfera homogénea de masa M y radio R respecto a un eje que pasa por su centro: (2/5)MR². El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a la rotación alrededor de un eje específico.

Cuando se utiliza el sistema de coordenadas latitud-longitud (λ – φ) para una esfera de radio r, el elemento de área correspondiente se da por la fórmula ds = r² cos λ dλ dφ. Esta fórmula permite calcular el área de un huso, es decir, una porción de esfera limitada por dos semicírculos que unen los polos y forman un ángulo α expresado en radianes. El área de tal huso es entonces igual a 2α r².

También se puede usar esta fórmula para calcular el área de una zona esférica, es decir, una porción de esfera limitada por dos planos paralelos que la intersectan o le son tangentes. En este caso, el área es igual a 2πrh, donde h es la distancia entre los dos planos. Esta fórmula permite demostrar un resultado notable de Arquímedes, que muestra que el área de una zona esférica es la misma que la de un cilindro circular de la misma altura tangente a la esfera (cilindro circunscrito). Este resultado impresionó tanto a Arquímedes que habría pedido que este descubrimiento fuera grabado en su tumba.

El volumen del cilindro circunscrito a una esfera dada es igual a 1,5 veces el volumen de la esfera.

Finalmente, la esfera es la forma que tiene el área más pequeña entre todas las superficies que encierran un volumen dado, y encierra el volumen más alto entre todas las superficies de un área dada. Es por esta razón que la esfera es una forma muy presente en la naturaleza, como en el caso de las burbujas o las gotas de agua que son esferas en ausencia de gravedad, ya que la tensión superficial busca minimizar el área.

La esfera circunscrita al tetraedro

Existe una esfera única, llamada esfera circunscrita, que pasa por los cuatro puntos A, B, C y D no coplanarios formando un tetraedro no aplanado (ABCD). En el centro de esta esfera, los seis planos mediadores de las aristas del tetraedro se cruzan.

Se ha demostrado que la esfera es una superficie que no puede desarrollarse. Por lo tanto, no hay un modelo plano de la esfera. Sin embargo, es posible obtener superficies que se aproximan a la esfera de manera muy fiel en la práctica, como es el caso de todos los balones cosidos. Los balones de fútbol (que tienen una forma de icosaedro truncado), los balones de voleibol y los balones de fantasía (que tienen una forma de husos de polo a polo) son ejemplos de estas superficies desarrollables. Es importante notar que la presión interna curva estas superficies y las acerca a la perfección. Así, cuanto más inflado esté el balón, más se acerca a la esfera ideal.

 

¿Qué son las esferas euclidianas de dimensiones superiores?

El concepto de esfera puede generalizarse a un espacio de dimensión entera cualquiera. Para cualquier número natural n, una n-esfera de radio r es el conjunto de puntos del espacio euclidiano a (n+1) dimensiones que están a una distancia fija r de un punto de este espacio (r es un número real estrictamente positivo). Por ejemplo:

• una 0-esfera es el par de puntos extremos del intervalo [−r, r] de la línea real;
• una 1-esfera es un círculo de radio r;
• una 2-esfera es una esfera ordinaria.

Las esferas de dimensión n > 2 a veces se llaman hiperesferas. Se denota Sn la n-esfera de radio 1.

El área de una (n-1)-esfera de radio r puede calcularse usando la siguiente fórmula:

A = 2π^(n/2) * r^(n-1) / Γ(n/2)

donde Γ representa la función gamma.

Usando esta fórmula, puedes calcular el área de cualquier (n-1)-esfera de radio r, donde n es el número de dimensiones de la esfera. Por ejemplo, para una esfera en tres dimensiones (una esfera normal en el espacio tridimensional), n=3, por lo que el área sería de:

A = 2π^(3/2) * r^2 / Γ(3/2)

El espacio topológico de la esfera

En topología, el término “esfera” (o “n-esfera” para recordar la dimensión) puede designar cualquier espacio topológico homeomorfo a una n-esfera según la definición dada en la sección anterior. Si n es par, la característica de Euler de una n-esfera es de 2, y si n es impar, es de 0.

La primitiva geométrica de la esfera

La esfera se utiliza ampliamente como primitiva geométrica en los programas de CAD o de infografía como Blender. El usuario puede especificar las características de la malla utilizada para representarla ajustando su finura.

El origen de la esfera

La esfera es la forma geométrica más global y menos diferenciada, y representa una imagen evidente del cosmos, con un simbolismo esotérico particularmente rico.

La esfera está relacionada con:

• El círculo, símbolo de lo divino y lo celestial. La esfera representa aún mejor que el círculo la unidad, la armonía, el infinito y el dominio del espíritu.
• El cubo, símbolo de la perfección del mundo manifestado. La esfera es menos concreta pero más “dinámica” que el cubo.

Pertinente en el ámbito de lo abstracto, la esfera precede al cubo. Crea un espacio neutro e indiferenciado que contiene todas las potencialidades: engloba todas las demás formas y figuras geométricas.

La esfera es también el símbolo de la unidad cósmica. Como figura sagrada, refleja el Principio en su intención creativa, mientras que el cubo evoca la realización concreta.

Significados y símbolos de la esfera

El mundo y la perfección

El simbolismo asociado a la esfera es similar al del círculo. Se considera un símbolo de perfección y de representación del espacio y del mundo. La esfera representa un conjunto perfecto y coherente, evocando un mundo cerrado y hermético, al igual que una mujer embarazada. La esfera es, por lo tanto, percibida como una forma femenina, símbolo de plenitud y finitud. Además, el concepto de esfera de influencia está relacionado con su gravitación.

En 3D, los desplazamientos se añaden a la idea de historia y memoria. Los sueños de esfera son muy raros, ya que simbolizan el alcance de la perfección y la toma de conciencia total.

La esfera: símbolo del movimiento

La esfera encarna ante todo el movimiento, en contraste con la estabilidad del cubo. Evoca la rotación, el cambio, los ciclos, así como las energías entrelazadas, como en la representación del taijitu, símbolo del yin y el yang. Sin embargo, la esfera aparece como inestable, ya que nada parece capaz de detener su movimiento.

El centro de la esfera

La esfera es una forma geométrica global y menos diferenciada que posee un simbolismo esotérico particularmente rico. Está en relación con el círculo, símbolo de lo divino y lo celestial, expresando mejor la unidad, la armonía, el infinito y el dominio del espíritu. La esfera también está en relación con el cubo, símbolo de la perfección del mundo manifestado, pero menos concreta y más dinámica que el cubo.

Como símbolo de la unidad cósmica, la esfera es la figura sagrada que refleja el Principio en su intención creativa, mientras que el cubo evoca la realización concreta. La esfera es inseparable de la génesis del mundo, simbolizando el huevo cósmico que contiene todas las potencialidades de diferenciación.

La esfera es también la expresión del movimiento, evocando la rotación, el cambio, los ciclos y las energías que se entrelazan. Puede parecer inestable ya que nada parece poder detener su movimiento.

Como el tao del taoísmo, la esfera es femenina y fecunda, dando nacimiento a toda cosa concreta. Está asociada al vientre materno, al huevo, al embrión, a la célula y al fruto, simbolizando la vida que solo espera eclosionar y florecer.

La esfera es el intermediario entre el punto, fuente oculta sin grosor e inexistente, y el cubo que es la palabra diferenciada y evoca la cristalización, la estructura y la forma. Así, la esfera es el intermediario entre el infinito y el finito, el no-ser y el ser.

El despliegue de la esfera evoca un nacimiento, sinónimo de vida y conciencia, la del cosmos como espacio unitario y ordenado. Puede verse como una imagen de Dios como ser creador, uniendo así materia y espíritu.

La esfera: símbolo del amor

La esencia de la esfera reside en su carácter globalizante que no hace distinción ni juicio entre los objetos y las formas que encierra. Es representativa del Amor y de la acogida incondicional de toda cosa en su seno.

Desde su centro originario, difunde la diversidad que está unida en la unidad. La esfera nos recuerda que cada ser, cada cosa proviene de la misma fuente y evoluciona en un entorno común. Formamos parte de un conjunto universal donde toda noción de separación es una ilusión.

En otras palabras, la esfera simboliza el espacio que reconoce la solidaridad entre todas las cosas (la sympatheia estoica) y la presencia del Principio creador en cada elemento.

La esfera: de los astros al átomo

La esfera está presente en diversas cosmogonías antiguas, especialmente en Grecia, así como en enfoques más tardíos como en el Islam. Según estas diferentes perspectivas, el universo estaría constituido por varias esferas concéntricas.

Para Aristóteles, el cosmos sería una esfera compuesta de éter o quintaesencia, considerada como el quinto elemento. Esta quintaesencia, materia cósmica incorruptible e intangible, formaría el cemento del universo. Para Pitágoras, su estatus sería superior al de los otros elementos.

El simbolismo de la esfera está estrechamente relacionado con el del átomo y los astros. La representación del globo terrestre nos permite tomar conciencia de la unidad de nuestro mundo, mientras que los átomos pueden percibirse como un mini-universo, sus electrones girando alrededor del núcleo central. Así, lo infinitamente pequeño se uniría a lo infinitamente grande, el microcosmos sería una imagen del macrocosmos.

El hombre y la esfera

La esfera, en el hombre, está asociada a la cabeza, que encarna el cerebro, el espíritu, y se sitúa a medio camino entre el Cielo y la Tierra (representando el cuerpo). Además, la esfera está ligada al ojo, que simboliza el conocimiento, la conciencia y la espiritualidad. Es el tercer ojo, también llamado el ojo omnisciente.

La esfera: símbolo de la belleza

La belleza, la perfección y la armonía, son los valores más nobles que evocan la vida, y la esfera es su símbolo último.

Su belleza proviene del hecho de que todos los puntos de su superficie están equidistantes de su centro. Posee una infinidad de ejes de simetría, donde la simetría no genera división sino más bien una unión. Finalmente, la esfera recuerda a la perla, emblema de la belleza, del amor y de la mujer.

Esferas sefiroticas

El concepto del árbol de la vida sefirotico implica la presencia de 10 esferas, cada una representando un aspecto de la realidad.

Cada una de estas esferas se considera una fuerza creativa, una dimensión de la manifestación divina o una cualidad de Dios. Cada esfera está asociada a un “mundo” coherente.

La esfera en la francmasonería

El carácter « doble » o intermediario de la esfera está presente en la francmasonería debido a su relación con la geometría y la astronomía. En el grado de compañero, las esferas terrestre y celeste coronan las columnas representadas en el cuadro de logia, simbolizando el cielo estrellado y el zodiaco. Así, la esfera representa tanto la Tierra como el Cielo, y su correspondencia evoca la equivalencia entre el macrocosmos y el microcosmos.

Cabe señalar que en la teoría de los Siete planetas o Siete esferas en alquimia, cada esfera corresponde a un planeta, un metal y un rasgo de carácter, describiendo así el recorrido personal hacia el logro de la pureza del ser y del despertar espiritual.