La Elipse, su origen, su representación, sus significados, sus símbolos en geometría sagrada y sus beneficios

¿Qué es una elipse?

La elipse es una curva cerrada plana obtenida por la intersección de un cono o cilindro con un plano que corta el eje de rotación. Es una cónica con una excentricidad comprendida entre 0 y 1. Puede describirse como el lugar de los puntos cuya suma de distancias a los focos es constante. En perspectiva, la elipse aparece como la forma de un círculo visto de lado o la sombra de un disco en una superficie plana. En astronomía, las elipses se utilizan para representar las órbitas de los cuerpos celestes. La Tierra sigue una elipse orbital alrededor del Sol. Algunas definiciones pueden llevar a elipses degeneradas tales como un punto, un segmento o un círculo.

Sección del cono

La elipse es una curva plana perteneciente a las cónicas, que se forma por la intersección de un cono de revolución y un plano que atraviesa el cono. El círculo puede considerarse como una elipse especial si el plano de corte es perpendicular al eje del cono, sin alcanzar su vértice.

Foco, línea directriz y excentricidad

La elipse se define como un conjunto de puntos en un plano afinado, que son proporcionalmente a la distancia del foco y a la distancia del punto a la línea directriz. Está determinada por el foco, la línea directriz y la excentricidad. La línea que une el foco a la proyección ortogonal sobre la línea directriz es el eje focal y los puntos de intersección con la elipse son los vértices. La mediatriz del segmento formado por los vértices es el pequeño eje de simetría de la elipse. La elipse también puede ser determinada por la posición de sus focos o de sus líneas directrices y su excentricidad. En geometría euclidiana, la elipse excluye el círculo, el segmento de línea y el punto.

Elipse, ¿cuál es su definición bifocal?

La elipse es el conjunto de puntos del plano donde la suma de las distancias a dos puntos llamados focos F y F’ es constante e igual a la longitud del eje mayor 2a. La longitud del eje menor 2b es perpendicular al eje mayor y la distancia entre los focos es 2c. Si los dos focos se unen, la elipse se convierte en un círculo, y si 2a = 2c, se convierte en un segmento de línea. El teorema de Dandelin muestra que la sección de un cono o de un cilindro por un plano también puede producir una elipse, determinada por los puntos de tangencia de esferas inscritas en la superficie de revolución.

El círculo por su afinidad

La elipse de centro O, de semieje mayor a y de semieje menor b se obtiene por la imagen del círculo principal (C2), de centro O y de radio a, por una afinidad de eje (xx’) perpendicular a (xx’) y de razón b/a. Para construir un punto M de la elipse, se unen los puntos M1 y M2 del pequeño círculo (C1) y del gran círculo (C2), situados en la misma línea [OM2], a O por líneas paralelas y perpendiculares a (xx’), y se toma su intersección M. La razón de la afinidad determina si la elipse es un círculo o un segmento. El ángulo de tangencia AOM1 = AOM2 entre los círculos y la elipse se llama anomalía excéntrica y puede ser utilizado como un parámetro simple en una ecuación paramétrica de la elipse.

Representación en imagen de la elipse

La elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a los dos puntos fijos llamados focos es constante	Construcción de una elipse con la ayuda de dos focos y una cuerda de longitud fija	Al construir una elipse como una hipotrocoide, el punto rojo describe una elipse cuando el círculo negro gira dentro del círculo azul

Construcción de una elipse por un círculo director

Sean F y F’ dos puntos distintos y (C) un círculo de centro F’ y de radio 2a (2a > FF’). Se designa por elipse de círculo director (C) y de foco F, el conjunto de los centros de círculos tangentes al interior de (C) y que pasan por F. Para construir un punto M en la elipse, que será el centro de un círculo tangente a (C) en m, se traza la mediatriz del segmento [Fm]. Esta mediatriz encuentra el radio [F’m] en M, que es el centro del círculo tangente, y es también una tangente en M de la elipse. También se puede obtener la elipse doblando una hoja de papel con el círculo director y el foco F dibujados sobre ella, de manera que se superponga un punto del círculo con el foco F. Los pliegues obtenidos dibujan entonces el haz de tangentes a la elipse.

La elipse es simétrica con respecto al segmento [FF’]. Por lo tanto, tiene otro círculo director de centro F y de radio 2a. Cuando F y F’ se confunden, esto permite trazar un círculo de centro F y de radio a. Si el radio del círculo director es igual a la distancia FF’, la construcción da el segmento [FF’]. Cuando m está en F, los centros de los círculos tangentes interiormente a (C) describen el segmento [FF’]. Si m es distinto de F, el único círculo tangente a (C) que pasa por F es (C) mismo, cuyo centro es F’.

También cabe destacar que el foco F proyecta ortogonalmente sobre la tangente en M un punto m’ perteneciente al círculo principal de la elipse (círculo de centro O y de radio a). Más precisamente, las proyecciones de F sobre las tangentes a la elipse forman el círculo principal de la elipse. Lo que hace del círculo principal la podaria de la elipse con respecto a su foco, y de la elipse la anti-podaria del círculo principal con respecto al foco.

La elipse por la hipotrocoide

Si se hace rodar sin deslizamiento un círculo de centro O’ de radio R dentro de un círculo de centro O y de radio 2R, el lugar recorrido por un punto M, solidario del pequeño círculo, situado a una distancia d del centro O’ recorre una elipse. Su centro es O, sus semiejes son R + d y |R – d|. La elipse es, por lo tanto, un caso particular de hipotrocoide.

¿Cuáles son las propiedades geométricas de la elipse?

Los elementos de simetría de la elipse

Los ejes de simetría de la elipse son “el eje focal” o “eje principal”, que pasa por los focos y es perpendicular a las directrices, y “el eje secundario”, perpendicular al eje focal y pasando por el centro de la elipse. El centro de la elipse es también un centro de simetría y la intersección de los dos ejes. Los puntos de la elipse que se sitúan en el eje focal se llaman vértices principales y los que están en el eje secundario son los vértices secundarios. El “eje mayor” que une los vértices principales pasando por el centro también se llama “eje menor”. La longitud de estos ejes puede medirse utilizando una unidad de longitud elegida.

Bisectriz y tangentes

La propiedad de reflexividad de una elipse, con los focos F y F’, es que la bisectriz del sector angular (FMF’) es perpendicular a la tangente en un punto M sobre la elipse. Se utiliza en diversos campos, tales como la óptica geométrica para la construcción de espejos elípticos y reflectores de faro, la acústica para las salas en forma de elipse para una mejor recepción sonora, y la urología para los litotritores extracorpóreos. La propiedad se debe a la convergencia espacial y temporal de las señales, asegurando una fase en fase y una concentración de energía para una mejor recepción. Se puede ver esta propiedad en estructuras como la rotonda del Capitol Building en Washington y el Mormon Tabernacle en Salt Lake City.

Significados y símbolos de la elipse a través de las culturas

El tercer ojo (también llamado ojo de la Providencia o ojo divino) simboliza el ojo de la conciencia, del alma, del corazón y del conocimiento. Representa la unidad, la reconciliación de los contrarios y un vínculo decisivo entre el hombre y lo que lo trasciende, es decir, la unión de la trascendencia y la inmanencia. Una boca abierta simbolizando el asombro, la sorpresa o el estupor. El huevo del mundo, representación simbólica del cosmos como germen, centro y totalidad.

La feminidad está simbolizada por una elipse, representando el sexo femenino como origen misterioso del mundo. Esto representa una fuente fértil, la naturaleza y los ciclos. El cero está representado por una elipse, simbolizando el número 0, representando el vacío, el infinito y la realización. El cero abarca todo y nada, la eternidad y la nada.

La Elipse: símbolo del movimiento

La dualidad es la característica que distingue la elipse del círculo, ya que posee dos vértices y dos ejes de simetría. La elipse aparece entonces como un intermediario entre el círculo (unidad, infinito, divino) y las formas diferenciadas tales como el cuadrado (dualidad, limitado, terrestre).

En el Manifiesto Amarillo de Victor Vasarely, fundador del op art, la elipse se define como “la otra expresión de la unidad círculo-plano”, es decir, círculo + espacio + movimiento + duración, y equivalente al rombo para el cuadrado. La elipse es por lo tanto considerada como un círculo específico que integra el tiempo y el espacio, pasando de lo abstracto a lo concreto, de la idea a la forma. El círculo sigue siendo perceptible sin perder su identidad original. De manera similar, la elipse puede ser comparada al cilindro o al cono con respecto a la esfera.

La Elipse: símbolo de deformación

La elipse simboliza un movimiento que deforma el círculo. Representa por lo tanto un círculo en movimiento, evocando la apariencia de ruedas de coche arrancando rápidamente o de un balón lanzado. Sometida a las fuerzas de la naturaleza, a los elementos y a los ciclos, la elipse es una forma circular flexible, asociada a la energía, la vida, las ondulaciones, la evolución y el progreso.

La Elipse o la fuerza espiritual

La elipse encierra una fuerza espiritual insospechada. Se sitúa entre el círculo y las formas diferenciadas, asociando unidad y dualidad, espíritu y materia, infinito y finito. Desempeña un papel de puente entre polos aparentemente incompatibles y representa la sabiduría. La elipse, que puede ser vista como un círculo en perspectiva, está influenciada por su entorno en el tiempo y el espacio, pero conserva su naturaleza primera de círculo.