Cubo o Hexaedro

El Cubo o Hexaedro, 2º de los 5 sólidos de Platón, su historia, sus significados, sus símbolos en geometría sagrada y sus beneficios

¿Qué es un cubo o hexaedro?

En geometría euclidiana, un cubo es un sólido plano que tiene todas sus caras cuadradas del mismo tamaño. Forma parte de los cinco sólidos de Platón, que tienen exactamente 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. También se le conoce como hexaedro regular. Es un zonoedro con tres generadores. Se caracteriza por su símbolo de Schläfli {4,3}, que indica que tiene cuatro vértices por cara y tres caras por vértice.

La palabra “cubo” proviene del griego kubos, que significa dado. El término también se utiliza para describir un número que ha sido multiplicado por sí mismo dos veces, como en “3 al cubo” que es igual a 3 x 3 x 3. El 1-esqueleto del cubo, que es el conjunto de sus vértices conectados por sus aristas, forma un grafo llamado grafo hexaédrico.

Geometría del Cubo o Hexaedro

El cubo es un sólido geométrico que posee 6 caras cuadradas, 8 vértices y 12 aristas. Forma parte de los cinco sólidos de Platón. Tiene propiedades particulares tales como: las aristas tienen todas la misma longitud, las caras opuestas son paralelas, las caras adyacentes son perpendiculares y todos los ángulos diedros son rectos. Además, las diagonales del cubo se cruzan en un solo punto, el centro de simetría. También se le conoce como hexaedro regular y su símbolo de Schläfli es {4,3}. La forma del cubo se utiliza a menudo en la geometría para describir las propiedades de los números, como el cubo de un número que es el resultado de la multiplicación de ese número por sí mismo, tres veces.

Grupo de isometrías del Cubo o Hexaedro

El cubo es un sólido geométrico que presenta una gran variedad de simetrías. Posee 3 ejes de rotación de orden 4 que pasan por el centro de dos caras opuestas, 6 ejes de rotación de orden 2 que pasan por el medio de dos aristas opuestas, 4 ejes de rotación de orden 3 que pasan por dos vértices opuestos, una simetría central respecto a su centro, y 9 planos de simetría que incluyen los planos mediadores de las aristas y los planos que pasan por dos aristas opuestas. El grupo de isometrías del cubo, notado Oh, y el subgrupo de sus isometrías positivas, notado O, también son conocidos como grupos de simetría octaédrica, ya que son similares a los de su poliedro dual, el octaedro regular.

Hay 48 isometrías que dejan el cubo globalmente inalterado, de las cuales 24 son rotaciones. Estas isometrías pueden determinarse teniendo en cuenta la imagen de un vértice A y de dos de sus vecinos, B y C, que forman un sistema de referencia del espacio con el centro del cubo. Esto define la imagen de A’ entre los 8 vértices del cubo, la imagen de B entre los 3 vecinos de A’ y la imagen de C entre los 2 vecinos restantes.

El cubo posee 24 rotaciones diferentes que pueden repartirse en diferentes categorías tales como la aplicación identidad, medias vueltas y tercios de vueltas. Estas rotaciones están gobernadas por los grupos O y Oh que son isomorfos al grupo simétrico S4. Además, las isometrías negativas del cubo son las anti-rotaciones compuestas de estas rotaciones y la simetría central. Este grupo es conocido como el más grande de los 7 grupos ortogonales de redes de dimensión 3.

El grupo de isometrías negativas de un cubo está compuesto por 24 isometrías, que incluyen: la simetría central, 3 simetrías respecto a un plano que pasa por el centro del cubo y paralelo a una cara, 6 compuestas de las simetrías anteriores con un cuarto de vuelta de eje perpendicular al plano de simetría, 6 simetrías respecto a un plano que pasa por dos aristas opuestas, 8 compuestas de un sexto de vuelta de eje que pasa por dos vértices opuestos con la simetría respecto al plano que pasa por el centro del cubo y perpendicular a este eje, que forma un hexágono regular.

El cubo puede descomponerse en dos tetraedros simétricos respecto a la simetría central. De estas 48 isometrías del cubo, 24 preservan la invariancia de cada uno de estos tetraedros, con 12 rotaciones y 12 isometrías indirectas. Estas 24 isometrías permutan los cuatro vértices del tetraedro.

El Cubo o Hexaedro y los otros poliedros

El cubo y el octaedro regular tienen el mismo grupo de isometrías. Es posible colocar un cubo dentro de un dodecaedro regular de manera que los vértices del cubo correspondan a los vértices del dodecaedro y las aristas del cubo formen segmentos que conectan dos vértices no consecutivos de una cara pentagonal del dodecaedro, hay cinco maneras de hacer esto. También es posible inscribir un cubo en un dodecaedro rómbico donde los vértices del cubo corresponden a los vértices de orden 3 del dodecaedro rómbico y las aristas del cubo corresponden a las diagonales de los rombos.

El Cubo o Hexaedro y su fascinación

En la geometría y la cosmología griega, el cubo era considerado como un sólido importante. Platón lo clasificó como el cuarto sólido, aquel que fue construido a partir de triángulos isósceles rectángulos.

« Agrupados de cuatro en cuatro con sus ángulos rectos encontrándose en el centro, estos triángulos isósceles forman un cuadrángulo. Seis de estos cuadrángulos al unirse dieron lugar a ocho ángulos sólidos, compuestos cada uno de tres ángulos planos rectos y la figura obtenida es un cubo (Timeo, 54c – 55 d) »

El cubo es un sólido platónico asociado al elemento de la Tierra por su estabilidad. Se considera como un símbolo de la materia y de los cuatro elementos, a menudo utilizado en la base de los tronos. También se ha asociado con el planeta Saturno en la cosmología de Kepler y utilizado como símbolo de perfección en la masonería. El cubo también es conocido por ser utilizado en las películas canadienses, las computadoras y las consolas de juegos, así como el famoso rompecabezas Cubo de Rubik. También está presente en el arte, como en el cuadro “Melancolía” de Albrecht Dürer y el Atomium de Bruselas, y es una de las redes posibles en cristalografía para diferentes materiales como la plata, el oro y el cobre.

Símbolos y beneficios del cubo o hexaedro

El hexaedro es el segundo sólido platónico, que tiene una forma de cubo con seis caras cuadradas. Está asociado al elemento de la Tierra y está vinculado al chakra raíz (Muladhara) ubicado en la base de la columna vertebral. Se considera como símbolo de arraigo, estabilidad y dominio de sí mismo. Favorece la armonía entre la Tierra y el mar. Se considera que favorece las capacidades de razonamiento, la atención y el contacto con la realidad. Está asociado al color rojo y a ciertas gemas como el ágata, la aventurina, el granate almandino o el jaspe. Se considera que permite el equilibrio y el paso a la acción, y también está asociado al cerebro izquierdo y al razonamiento racional y lógico.

El hexaedro es un sólido platónico que se considera como un símbolo de la Tierra y está vinculado al primer chakra. Está compuesto por seis caras cuadradas, ocho vértices y doce aristas. Es el segundo sólido platónico. Se considera que refuerza los arraigos y los vínculos con la realidad física y concreta, como el cuerpo físico y la vivienda. Es útil para desarrollar fundamentos sólidos antes de aventurarse hacia otros horizontes. Se considera como el más estable de los cinco sólidos platónicos. Se utiliza para calmar a las personas estresadas colocándolo sobre su foto ya que dispersa la energía hacia el cielo. Es particularmente útil para las personas que sienten estrés, falta de estructura, falta de arraigo, necesidad de protección y seguridad o que sufren de angustias.