El cuadrado, su origen, su representación, sus significados, sus símbolos en geometría sagrada y sus beneficios

¿Qué es un cuadrado?

Un cuadrado es una figura geométrica que es un cuadrilátero convexo con cuatro lados de la misma longitud y cuatro ángulos rectos. Se considera un polígono regular, un rombo, un rectángulo y un paralelogramo particular. Posee cuatro simetrías axiales, dos rotaciones de ángulo recto y una simetría central respecto a la intersección de sus diagonales. Las representaciones del cuadrado se remontan a la prehistoria y se considera una de las figuras geométricas más estudiadas desde la Antigüedad. También está relacionado con la operación matemática de multiplicación por sí mismo, en particular, el área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de un lado.

¿Cuál es la composición del cuadrado?

Un cuadrado es una figura plana formada por cuatro segmentos de la misma longitud, llamados lados, conectados en cuatro puntos llamados vértices en un orden cíclico. Los lados forman ángulos rectos orientados en el mismo sentido. Los vértices que están conectados por un lado se llaman consecutivos, de lo contrario, son opuestos. El borde de la superficie plana formada por los lados se llama cuadrado lleno, que es la envoltura convexa de los vértices. El interior del cuadrado se obtiene eliminando el borde del cuadrado lleno. Si los vértices del cuadrado se nombran A, B, C y D en ese orden, el cuadrado se denota ABCD y las características mencionadas son que AB=BC=CD=DA y los ángulos son de 90 grados.

Las diagonales de un cuadrado, que son de igual longitud y perpendiculares, conectan los vértices opuestos. El punto donde se cruzan las dos diagonales se llama el centro del cuadrado, que es tanto el isobariocentro de los vértices como el centro de masa del cuadrado lleno. Este punto es también el centro de un círculo circunscrito que pasa por los cuatro vértices y de diámetro igual a la longitud de las diagonales, así como el centro de un círculo inscrito tangente a los cuatro lados en su respectivo medio y de diámetro igual al lado del cuadrado.

¿Cuáles son las medidas del cuadrado?

El perímetro de un cuadrado es igual a 4 veces la longitud de un lado (p=4c) y su área es igual al cuadrado de la longitud de un lado (A=c^2). Las diagonales de un cuadrado tienen una longitud igual a c * raíz cuadrada de 2 (d=c*√2), lo que se demuestra mediante el uso del teorema de Pitágoras en un triángulo isósceles rectángulo formado por una diagonal y dos lados del cuadrado. Esta relación también puede ilustrarse por el hecho de que un gran cuadrado, teniendo como lado la diagonal del cuadrado inicial, puede descomponerse en cuatro triángulos isósceles rectángulos que pueden reconstituirse para formar dos cuadrados del mismo tamaño que el cuadrado inicial. El cuadrado es, entre los cuadriláteros que tienen el mismo perímetro, el que posee la mayor superficie, lo que lo convierte en la respuesta a la cuestión de isoperimetría en los cuadriláteros.

La construcción de un cuadrado
Construcción de cuadrado n°1	Construcción de cuadrado n°2	Construcción de cuadrado n°3
Cuadrado en un círculo	Cuadrado con longitud de lados conocidos	Cuadrado con longitud de diagonales conocidas

¿Cuáles son los problemas asociados al cuadrado?

La cuadratura del círculo es un desafío matemático que consiste en construir un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado, utilizando únicamente herramientas como la regla y el compás. Sin embargo, se ha demostrado que esto es imposible debido a la trascendencia de π, una propiedad matemática demostrada por Ferdinand von Lindemann en 1882. La cuadratura del cuadrado, por su parte, consiste en cortar la superficie de un cuadrado en un número finito de cuadrados de lado entero, todos de tamaños diferentes. Varias soluciones han sido propuestas durante el siglo XX. El apilamiento de cuadrados en un cuadrado o un círculo consiste en determinar el tamaño máximo de n cuadrados que pueden disponerse de manera disjunta en un cuadrado o un círculo de tamaño dado, en función del número n. No hay una fórmula general conocida para resolver este problema, sin embargo, se han propuesto muchos apilamientos y algunos de ellos han sido demostrados como óptimos para pequeños valores de n o si este número ya es un cuadrado perfecto.

La conjetura de Toeplitz afirma que toda curva cerrada simple contiene cuatro puntos distintos que forman los vértices de un cuadrado. Aunque versiones de esta conjetura han sido demostradas bajo hipótesis adicionales de regularidad o simetría sobre la curva, sigue siendo un desafío matemático en un marco general, en particular para las curvas fractales. La división de un cuadrado en varios cuadrados más pequeños siguiendo una cuadrícula también es el origen de muchos problemas matemáticos, utilizados especialmente como juegos como el cuadrado greco-latino, el cuadrado mágico, el cuadrado latino y el sudoku.

Historia y origen del cuadrado

Se han encontrado cerámicas adornadas con motivos cuadrados que datan del VI milenio a.C. en Mesopotamia. Las tabletas demuestran que los antiguos tenían un conocimiento de las simetrías y rotaciones de los cuadrados desde el siglo XVIII a.C. La tableta BM 15285 contiene alrededor de cuarenta problemas matemáticos relacionados con las áreas de figuras vinculadas a los cuadrados. El Antiguo Testamento también recomendaba construir ciudades de forma cuadrada, independientemente de la forma de sus murallas. La simbología del cuadrado está relacionada con el número 4, la razón, la rigurosidad y la rectitud. Aunque poco común en la naturaleza, se pueden encontrar cubos de fluorita cristalizados de forma cúbica.

El cuadrado, también conocido como tetraedro, es uno de los símbolos más universales, junto con la cruz, el círculo y el centro. A menudo se utiliza como forma del espacio habitable y de los campos cercados por muchos pueblos, y se considera el símbolo del universo creado y de la naturaleza en oposición a lo no creado y al creador.

Está asociado al número 4, que simboliza el orden del universo y la oposición de los contrarios. Representa la unidad, la integridad y el equilibrio de las cuatro funciones psíquicas: el pensamiento, la sensación, la intuición y el sentimiento. El cuadrado se deriva del círculo, y evoca la cruz en rotación alrededor de su eje. Se utiliza para representar la división del tiempo en cuatro estaciones y la división del espacio en cuatro puntos cardinales, así como los cuatro elementos tradicionales (tierra, fuego, agua, aire).

En la cultura sagrada, el cuadrado a menudo se asocia al círculo para expresar la dualidad entre la Tierra y el Cielo. Es por eso que muchos edificios sagrados tienen una base cuadrada y un techo circular, como los estupas budistas por ejemplo. El cuadrado se considera un símbolo de rigurosidad. El calificativo “cuadrado” puede describir a alguien como riguroso, reflexivo, disciplinado, organizado y recto. También se asocia a la justicia, la fuerza y la virilidad.

¿Dónde se encuentra el cuadrado en las construcciones humanas?

Como se mencionó anteriormente, los ejemplos de formas geométricas cuadradas observables en la naturaleza son raros. Lo que se encuentra más fácilmente son estructuras o conjuntos que funcionan con el número 4: los cuatro elementos, los cuatro puntos cardinales, o las cuatro estaciones de un año. Estos ejemplos no son seres vivos particulares o minerales, sino modelos que estructuran nuestra realidad material: ahí radica todo el sentido simbólico del cuadrado y del número 4.

El uso del cuadrado en el arte, la arquitectura y la construcción, reinvirtiendo su simbolismo poderoso, es ejemplar en la base de las pirámides de Egipto. El cuadrado permite conectar el edificio a la tierra y permitir que los triángulos se eleven hacia el cielo, creando una dualidad entre la materia y el espíritu. Esta dualidad también se encuentra en otros lugares sagrados, como los estupas budistas que se componen de una base cuadrada y un techo circular.

El cuadrado asegura la estabilidad y el anclaje, simbolizando el mundo material en el que evolucionamos. Sin embargo, también puede representar cierta rigidez y limitaciones, como en los primeros campos cercados y lugares habitables que eran en forma de cuadrado, marcando la separación y el cierre.

Significados del cuadrado

Significado del cuadrado en geometría clásica

La figura geométrica del cuadrado se caracteriza por sus cuatro ángulos rectos y lados de igual longitud, lo que lo convierte en un polígono regular. También es un caso particular de los rombos y los rectángulos. Todos los cuadrados son similares, solo varía su tamaño.

Significado del cuadrado en geometría sagrada

El cuadrado, con sus cuatro ángulos rectos y lados iguales, es un símbolo geométrico fuerte que representa el número 4 en numerología. Está asociado a la materialidad y a la estructura. Aunque poco presente en la naturaleza, es una forma que se encuentra en muchas construcciones humanas, reflejando su simbolismo fuerte y su significado de base sólida y estable.

El cuadrado está asociado a conceptos como la estructura, la fiabilidad, la rigurosidad y la organización. También simboliza el equilibrio del universo, la neutralidad y la justicia gracias a sus proporciones equilibradas. A diferencia del triángulo que representa el cielo, el cuadrado está anclado en la materia y nos conecta a la tierra. Se considera una base sólida que nos permite sentirnos estables.

Símbolos del cuadrado a través de las culturas

El cuadrado: figura sólida y estable

El cuadrado es considerado uno de los símbolos más universales, junto con la cruz, el círculo y el centro. Está asociado al espacio habitable y a los campos cercados en muchos pueblos. También se considera el emblema del mundo creado y de la naturaleza, en oposición a lo no creado y al creador. También resume el simbolismo del número cuatro, representando el orden del Universo y la necesidad de los contrarios. Se considera símbolo de unidad, integridad y equilibrio de las cuatro funciones psíquicas, pensamiento, sensación, intuición y sentimiento. Finalmente, se considera una figura anti-dinámica, anclada en cuatro lados, simbolizando la detención, el estancamiento, la solidificación y la estabilización en la perfección.

La estructura del mundo por el cuadrado

El cuadrado, símbolo universal del orden y la estructura, se utiliza para orientarse en el espacio y establecer un sistema de coordenadas. Impone una organización al caos y permite dividir la tierra en cuatro estaciones y puntos cardinales, como muestra Luc Benoist en su obra “Signos, símbolos y mitos”. También está asociado a las cuatro direcciones de la brújula.

El cuadrado y el círculo

El cuadrado, derivado del círculo, simboliza la división del espacio y del tiempo en cuatro partes iguales, como los cuatro puntos cardinales o las cuatro estaciones. A menudo se asocia al círculo en la cultura sagrada para representar la dualidad cielo-tierra, como en los estupas budistas que tienen una base cuadrada y un techo circular. “La cuadratura del círculo” expresa la idea de una armonía ideal entre lo celestial y lo terrestre.

La rigurosidad está simbolizada por el cuadrado estable y sólido, que permite optimizar el espacio en arquitectura a diferencia del círculo, considerado como una pérdida de espacio en un entorno urbano. El cuadrado, exento de toda tensión, ofrece una neutralidad y objetividad, y su fiabilidad, solidez y estabilidad lo convierten en un elemento común en los logotipos de empresas. Las pirámides de base cuadrada de Egipto y del mundo entero combinan simplicidad y belleza fascinante al combinar el cuadrado y el triángulo, remitiendo a una idea de estabilidad. En la arquitectura sagrada, el cuadrado a menudo se asocia al círculo para expresar la dualidad cielo-tierra, como en los estupas budistas que poseen una base cuadrada y un techo circular. La cuadratura del círculo, considerada como imposible materialmente, simboliza el deseo de una armonía ideal entre lo celestial y lo terrestre. (Michel Cazenave)

El cuadrado y su rigurosidad

Según Platón, el cuadrado y el círculo se consideran absolutamente bellos en sí mismos. Estas dos figuras han sido ampliamente utilizadas por los artistas de todas las épocas, especialmente por los pintores abstractos. En el arte moderno, el cuadrado, los grupos de cuadrados y rectángulos, o de rectángulos y romboides, aparecen frecuentemente al igual que el círculo. El holandés Piet Mondrian es considerado el maestro de las composiciones armoniosas de cuadrados. Sus cuadros se caracterizan por la ausencia de un verdadero centro pero por la presencia de un conjunto ordenado de una rigurosidad casi ascética. (Aniéla Jaffé)

El cuadrado, garantía de fiabilidad, estabilidad y solidez

El cuadrado, debido a su falta de tensión, se considera que tiene una “neutralidad y objetividad”. Su fiabilidad, solidez y estabilidad lo convierten en un elemento común en los logotipos de empresas que desean transmitir estas nociones, como Orange, FNAC, Société Générale, ENI/AGIP. Por supuesto, la partición de la forma, el color elegido, la tipografía y la disposición pueden completar y modificar el valor simbólico del cuadrado, pero eso es otro tema.

Uso del cuadrado en geometría sagrada

El cuadrado es un símbolo poderoso, que representa el mundo manifestado y remitiendo a la esfera terrestre. En geometría sagrada, se considera en relación con el círculo. Mientras que el círculo es una forma geométrica activa, en movimiento constante, el cuadrado es una figura fija bien anclada, pareciendo marcar una pausa. El círculo se considera una representación del Espíritu, mientras que el cuadrado, contenido dentro del círculo, es la manifestación de esa intención primera en la materia. El círculo precede al cuadrado, ambos pueden obtenerse a partir de la cruz, un símbolo espiritual poderoso y universal. Este vínculo entre la cruz, el círculo y el cuadrado muestra toda la potencia esotérica del cuadrado.

El cuadrado es un símbolo poderoso, utilizado consciente o inconscientemente en muchos ámbitos de la actividad humana. Está presente en muchos logotipos de empresas y organizaciones, ya que se asocia al orden y al equilibrio. En el inconsciente colectivo, esta forma geométrica se considera un signo de seriedad y estabilidad.