El círculo, su origen, su representación, sus significados, sus símbolos en geometría sagrada y sus beneficios

¿Qué es un círculo?

Un círculo, en geometría euclidiana, es una curva plana cerrada formada por puntos equidistantes de un punto central dado, llamado centro. El radio del círculo representa esta distancia. El término “círculo” en francés está asociado al “redondo” en el plano euclidiano. Sin embargo, si se considera un plano no euclidiano o una distancia no euclidiana, la forma puede ser más compleja. En un espacio de cualquier dimensión, la esfera es el conjunto de puntos que están situados a una distancia constante de un punto central.

Otras formas pueden considerarse “redondas”: superficies y sólidos que tienen secciones planas que son círculos, como cilindros, conos, agujeros, anillos, y así sucesivamente.

El uso del círculo

Como objeto matemático abstracto, el círculo ofrece una modelización útil para un gran número de fenómenos. Los objetos manufacturados que presentan una sección circular, tales como cilindros (rodillos, ruedas, silos), esferas (balones, pelotas, bolas) y conos (rodillos, embudos), pueden así beneficiarse de las propiedades del círculo.

Estas propiedades permiten, en particular, deducir diversas informaciones sobre estos objetos, como su volumen que permite calcular su masa conociendo su masa volumétrica, o incluso su capacidad. De hecho, los objetos de sección circular son de un interés cierto por varias razones principales.

• Muchos fenómenos pueden ser modelados por el círculo, objeto matemático abstracto. Así se pueden deducir propiedades interesantes para los objetos manufacturados que tienen una sección circular, tales como los cilindros (rodillos, ruedas, silos), las esferas (balones, pelotas, bolas) o los conos (rodillos, embudos).
• Los objetos de sección circular son particularmente útiles para movimientos y desplazamientos que requieren poco esfuerzo, tales como las ruedas o los rodamientos mecánicos. Además, todos los puntos de un círculo están a igual distancia del centro, lo que da una noción de hemiciclo en los anfiteatros, donde el sonido tiene el mismo volumen para todos los espectadores en un mismo banco.
• Esta igualdad de distancia también tiene importantes implicaciones en términos de organización del territorio y logística. De hecho, si el desplazamiento se realiza de la misma manera en todas las direcciones, entonces un círculo representa el conjunto de puntos que se pueden alcanzar para una duración de trayecto o un consumo de energía dado desde el centro. Esto es lo que se llama el radio de acción y es un problema fundamental en geometría.
• Al soplar vidrio, se puede dar naturalmente una forma redondeada a un objeto. El círculo es la curva plana que, para una longitud dada, tiene el área más grande, como en el caso del disco. Esta propiedad se utiliza para construir objetos tales como silos o botellas cilíndricas, que tienen la mayor capacidad para una cantidad de material dada. De igual manera, una empalizada circular permite alojar a más personas para una cantidad de madera o piedra dada. Finalmente, la defensa en círculo es una estrategia militar eficaz que permite defenderse con el mínimo de medios frente a un ataque proveniente de todas partes.
• Un objeto con una forma redondeada tiene una mejor resistencia mecánica, ya que no presenta asperezas ni concentración de tensión. Además, tiene menos riesgo de herir en caso de choque con una persona. Los proyectiles también tienen menos posibilidades de golpearlo de frente, lo que reduce el riesgo de dañarlo. En óptica, la propiedad de perpendicularidad de los rayos que atraviesan un círculo se utiliza para construir contra-espejos esféricos y lentes.
• Finalmente, un objeto de sección circular puede ser fabricado de diferentes maneras, como por enrollamiento de hilo o por torneado. Si se coloca un objeto en un recipiente circular, se impone su posición pero no su orientación, lo que puede permitir ahorrar tiempo al colocarlo en posición. Este es el principio del centrado para la colocación.

Algunos elementos son tomados en cuenta por ciertos objetos. Por ejemplo, la forma cilíndrica de un cañón:

• facilita su fabricación, especialmente en lo que respecta al alesado;
• confiere una resistencia mecánica aumentada (resistencia a la presión de la explosión);
• permite una inserción fácil de la munición (no es necesario hacerla girar alrededor de su eje);
• al añadir una hélice al cañón, es posible imprimir un movimiento de rotación durante el disparo, estabilizando así la trayectoria.

De igual manera, si un objeto posee una superficie curva, esta última puede ser localmente aproximada por un círculo. Por lo tanto, si se conocen las propiedades del círculo, también se conocen las propiedades locales del objeto. Esto ha dado lugar a los conceptos de círculo osculador, radio de curvatura y armónica esférica.

Cuando objetos o personas están dispuestos en círculo, es posible alcanzarlos con la misma facilidad desde el centro, así como observarlos de manera uniforme, lo que puede facilitar su vigilancia. Además, es posible identificarlos utilizando un solo parámetro, a saber, la dirección. Esto explica, en particular, la utilidad de los cuadrantes de aguja. Este concepto también ha permitido el desarrollo de las coordenadas cilíndricas y esféricas.

El círculo euclidiano, por su parte, es muy fácil de trazar, ya que basta con disponer de un objeto cuyas dos extremidades tengan una distancia constante. Una cuerda tensa o una rama torcida, e incluso un compás, pueden así ser utilizados para trazar un círculo “perfecto”. Esto lo convierte en una herramienta de estudio privilegiada en geometría.

La noción de elipse puede ser útil para resolver problemas y formas más complejas. El círculo, por su parte, es a menudo utilizado para representar simbólicamente objetos que son más o menos redondos, tales como astros (planetas, lunas, estrellas) y sus órbitas (que son en realidad elípticas), un orificio o incluso el óvalo de un rostro (como la cabeza de Toto o los emoticonos).

 

En el plano simbólico, el círculo representa varios conceptos, en particular una cierta forma de perfección debido a su simetría y su ausencia de aspereza. Según Ronsard, nada es excelente en este mundo si no es redondo, y desde la Antigüedad griega, la esfericidad está asociada a la perfección y por lo tanto a la divinidad. Para Kepler, el círculo representa la santa Trinidad, con el Padre en el centro, el Hijo en la superficie y el Espíritu Santo en la igualdad de la relación del centro al contorno. Aunque el centro, la superficie y el intervalo son manifiestamente tres, no son más que uno, al punto que no se puede concebir que falte uno sin que el todo sea destruido.

El círculo simboliza también un movimiento continuo e infinito, la noción de ciclo y es una de las representaciones del recomienzo, de la continuidad, de la eternidad y del tiempo cíclico, con la variante de la espiral. Finalmente, el círculo puede también simbolizar una igualdad entre las personas, como en la Mesa Redonda del rey Arturo.

Definición del círculo

Antiguamente, el lenguaje corriente utilizaba el término “círculo” para nombrar tanto la curva (circunferencia) como la superficie que rodeaba. Hoy en día, en matemáticas, el círculo ya no designa más que la curva en cuestión, mientras que la superficie que contiene se llama disco. El número π (Pi) se define como el cociente de la circunferencia de un círculo por su diámetro.

• Una cuerda es un segmento de línea cuyas extremidades están situadas en el círculo.
• Un arco es una porción de círculo limitada por dos puntos.
• Una flecha es el segmento que une los medios de un arco de círculo y de una cuerda que comparten los mismos puntos del círculo.
• Un radio es un segmento de línea que une el centro del círculo a un punto situado en el círculo.
• Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro del círculo y divide el disco en dos partes iguales. Está constituido por dos radios colineales y tiene una longitud igual a 2r, donde r es el radio del círculo.
• Un disco es la región del plano limitada por el círculo.
• Un sector circular es la parte del disco comprendida entre dos radios.
• Un segmento circular es la porción del disco comprendida entre una cuerda y el arco de círculo que subtiende.
• Un ángulo en el centro es un ángulo formado por dos radios del círculo.
• La circunferencia es el perímetro del círculo y mide 2πr, donde r es el radio del círculo.

Las ecuaciones del círculo

Ecuaciones cartesianas y paramétricas del círculo

La ecuación cartesiana del círculo de centro C (a,b) y de radio r en un plano dotado de un sistema de coordenadas ortonormado está dada por: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Esta ecuación también puede ser utilizada para el círculo unidad o círculo trigonométrico (el círculo cuyo centro es el origen del sistema de coordenadas y cuyo radio vale 1) que está definido por la ecuación x^2 + y^2 = 1. Esta ecuación se deriva del teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo rectángulo formado por el punto del círculo y su proyección sobre los dos radios paralelos a los ejes.

Al poner y en evidencia, se obtiene la doble ecuación cartesiana del círculo (de hecho una ecuación para cada semicircunferencia delimitada por el diámetro horizontal): y = b ± sqrt(r^2 – (x-a)^2).

Unas ecuaciones paramétricas posibles del círculo (en función del parámetro θ que expresa aquí un ángulo orientado del vector que une el centro del círculo a uno de sus puntos respecto al vector horizontal unidad del sistema de coordenadas) están dadas por: x = a + rcos(θ); y = b + rsin(θ)

Para un círculo centrado en el origen (0; 0), las ecuaciones paramétricas son: x = rcos(θ); y = rsin(θ)

Y para el círculo unidad, las ecuaciones paramétricas son: x = cos(θ); y = sin(θ).

El círculo y sus puntos de intersección con una línea

El círculo es una figura geométrica plana definida como el conjunto de puntos situados a igual distancia de un punto fijo llamado centro. Cuando se traza una línea en el plano y corta el círculo, se habla entonces de puntos de intersección.

Utilizando la geometría analítica, es posible determinar los puntos de intersección de un círculo y una línea. Para ello, se considera que el origen del sistema de coordenadas es el centro del círculo y que el eje de las abscisas es paralelo a la línea. Luego se resuelve un sistema de ecuaciones para determinar las coordenadas de los puntos de intersección.

Según la posición de la línea respecto al círculo, pueden presentarse tres casos:

• Si la distancia entre el centro del círculo y la línea es mayor que el radio, entonces no hay puntos de intersección.
• Si la distancia entre el centro del círculo y la línea es igual al radio, entonces la línea es tangente al círculo en un único punto de intersección.
• Si la distancia entre el centro del círculo y la línea es menor que el radio, entonces existen dos puntos de intersección distintos.

El círculo visto como una sección

El círculo es una cónica que posee propiedades particulares: sus focos están situados en el mismo lugar que su centro y las longitudes de su eje mayor y menor son iguales. Su valor de excentricidad e es igual a 0. Esta figura geométrica puede obtenerse cortando un cono de revolución con un plano perpendicular a su eje. Se habla a menudo de “sección recta” del cono.

En dibujo industrial, un círculo es a menudo representado destacando su eje horizontal y vertical con líneas finas y guiones largos y cortos. En otros casos, puede simplemente ser representado con una cruz recta “+” en líneas finas. Si una forma de revolución, tal como un cilindro, un cono o una esfera, se ve según su eje de revolución, aparecerá bajo la forma de un círculo lleno o hueco.

¿Cuáles son las propiedades geométricas del círculo?

Las medidas del círculo

La medida de un ángulo α, expresado en radianes, subtendido por un arco de radio r es igual a αr. Por lo tanto, cuando el ángulo es de 2π (un giro completo), la circunferencia del círculo es igual a 2πr. El área del disco inscrito en un círculo de radio r es igual a πr². Además, si se toma una cuerda de longitud l y se hace el perímetro de una superficie cerrada, la mayor superficie posible será la de un círculo.

Según la leyenda de la fundación de Cartago, el soberano había permitido a los fenicios fundar una ciudad cuyo perímetro sería delimitado por una piel de vaca. Dido cortó esta piel en una larga tira y eligió una forma circular para obtener la mayor superficie posible.

El círculo por la flecha de un arco y la cuerda

La fórmula para calcular la longitud de una cuerda subtendida por un ángulo α es 2r sin(α/2).

Para encontrar el radio r, la cuerda c y la flecha f de un arco cualquiera de un círculo, se puede utilizar el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo formado por r-f, c/2 y r (que es la hipotenusa):

• c = 2√((2r-f)f)
• r = (4f²+c²)/(8f)
• f = r-√(r²-(c²/4))

La sinuosidad de dos arcos de círculo similares opuestos unidos en el mismo plano en continuidad derivable no depende del radio del círculo.

La tangente del círculo

La tangente al círculo en un punto es la línea perpendicular al radio que pasa por ese punto. Esta propiedad se utiliza en óptica geométrica: un rayo luminoso que pasa por el centro de un espejo esférico se refleja en sentido inverso según la misma trayectoria (se tiene una reflexión perpendicular al espejo). Si se coloca una fuente de luz en el centro de un espejo esférico, la luz es devuelta al otro lado, permitiendo así dirigir la luz hacia un espejo parabólico, por ejemplo (principio del contra-espejo).

Para encontrar la tangente a un círculo de centro O que pasa por un punto exterior A, se debe determinar el punto de tangencia T. Se utiliza el hecho de que el triángulo AOT es un triángulo rectángulo en T. Este triángulo rectángulo está entonces inscrito en un círculo cuyo centro es el medio del segmento [AO], o también, de manera equivalente, que la hipotenusa tiene una longitud doble de la de la mediana que parte del ángulo recto. Así, se determina el medio I de [AO], luego se traza un arco de círculo de centro I y de radio IO. Este arco de círculo corta el círculo en dos puntos de tangencia T.

La mediatriz del círculo

El centro de un círculo puede encontrarse trazando dos cuerdas no paralelas y encontrando la intersección de sus mediatrices, ya que la mediatriz de una cuerda siempre pasa por el centro del círculo. Además, se puede demostrar que las tres mediatrices de un triángulo se cruzan en un punto único, que es el centro del círculo circunscrito al triángulo, que pasa por los tres vértices.

El círculo y el triángulo rectángulo

Consideremos un círculo que contiene tres puntos A, B y C, de los cuales dos son diametralmente opuestos (es decir, [AC] es un diámetro). En este caso, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo en B.

Esta propiedad se explica por el hecho de que la mediana que parte del ángulo recto tiene una longitud igual a la mitad de la hipotenusa (ya que tenemos un radio y un diámetro). Esta particularidad es conocida como el “teorema del ángulo inscrito en un semicírculo” o “teorema de Thales” (en algunos países anglófonos o en Alemania). Inversamente, si A y C son dos puntos diametralmente opuestos en un círculo y si B es un punto cualquiera del plano tal que el triángulo ABC sea rectángulo en B, entonces B también pertenece al círculo.

El círculo, el ángulo en el centro y el ángulo inscrito

Si A y B son dos puntos distintos del círculo, O es el centro y C es otro punto del círculo, entonces el ángulo en el centro ∠AOB es igual al doble del ángulo ∠ACB. Para calcular el ángulo ∠AOB, basta con tener en cuenta el sector angular que intercepta el arco opuesto al arco que contiene C.

Esta propiedad se utiliza frecuentemente en los aparatos de análisis espectral por dispersión de longitud de onda, tales como el círculo de focalización o el círculo de Rowland.

¿Cuál es la potencia de un punto respecto a un círculo?

Para todo punto M y todo círculo Γ de centro O y de radio R, para toda línea que pasa por M y corta el círculo en A y B, se tiene: MA x MB = |OM² – R²|

Este valor es independiente de la línea elegida, pero depende únicamente de la posición de M respecto al círculo. Si M está fuera del círculo, MA x MB = OM² – R². Si M está dentro del círculo, MA x MB = R² – OM², que corresponde al producto de las medidas algebraicas MA y MB. La potencia del punto M respecto al círculo Γ se define entonces como el producto de las medidas algebraicas MA y MB, que es independiente de la línea elegida y siempre vale OM² – R².

Cuando el punto M está fuera del círculo, se pueden trazar tangentes al círculo y llamando T al punto de contacto de una de estas tangentes, la potencia de M es igual a MT². La igualdad MA x MB = MT² es suficiente para afirmar que la línea (MT) es tangente al círculo.

La potencia de un punto también permite verificar que cuatro puntos son cocíclicos. De hecho, si A, B, C y D son cuatro puntos tales que (AB) y (CD) se cruzan en M y que MA x MB = MC x MD en medidas algebraicas, entonces los cuatro puntos son cocíclicos.

¿Cuál es la relación de los círculos inscritos?

La relación de los radios de los círculos inscritos en dos triángulos semejantes es igual a la relación de sus lados homólogos. En otras palabras, si dos triángulos son semejantes, entonces la relación de los radios de sus círculos inscritos es igual a la relación de sus lados homólogos. Esta propiedad se llama la propiedad de similitud de los triángulos.

Esta propiedad es muy útil en geometría para calcular las dimensiones de un triángulo a partir de las dimensiones de otro triángulo semejante. También se utiliza en otros campos, tales como la física, para calcular las dimensiones de estructuras similares.

¿Cuál es el origen del círculo?

En el origen, el círculo entero se describe como la línea imaginaria que rodea la Tierra y que la separa en dos hemisferios. Es gracias a esta línea que los científicos han podido medir la circunferencia de la Tierra. Esta medida es de una importancia capital, ya que ha permitido comprender mejor la geografía y la topografía de nuestro planeta. La historia de la medida de la circunferencia de la Tierra se remonta a la Antigüedad. Los griegos fueron los primeros en proponer métodos para calcular el tamaño de la Tierra. Sin embargo, hubo que esperar varios siglos para que estos métodos fueran mejorados y que la medida fuera finalmente realizada.

En el siglo XVI, un científico holandés llamado Eratóstenes utilizó medidas astronómicas para calcular la circunferencia de la Tierra. Observó que el Sol no proyectaba las mismas sombras a la misma hora sobre objetos situados en lugares diferentes. Al medir el ángulo formado por los rayos del Sol, pudo calcular la distancia entre las dos ciudades y, por lo tanto, la circunferencia de la Tierra. Más tarde, otro científico holandés, Cristóbal Colón, también contribuyó a la medida de la circunferencia de la Tierra. En 1508, creó una herramienta llamada astrolabio, que permitió a los marinos navegar más precisamente utilizando las estrellas. El astrolabio fue utilizado para medir la altura de las estrellas en diferentes lugares de la Tierra, lo que permitió calcular la circunferencia.

Hoy en día, tenemos una medida precisa de la circunferencia de la Tierra, gracias a los trabajos de los científicos del pasado. La circunferencia de la Tierra es de aproximadamente 40 075 kilómetros, y puede ser medida con gran precisión gracias a las tecnologías modernas.

Significados del círculo

El círculo es un símbolo universal de la unidad, de la eternidad y del infinito. En muchas tradiciones espirituales antiguas, el círculo era considerado como la forma más perfecta y más sagrada. El centro del círculo representaba el punto de unión entre los mundos materiales y espirituales, y el círculo mismo representaba la armonía, el equilibrio y el orden divino.

En la geometría sagrada, el círculo está a menudo asociado a otras formas geométricas, tales como el cuadrado, el triángulo y el pentagrama. Juntas, estas formas forman patrones complejos que tienen un significado profundo y simbólico.

El círculo en nuestra vida cotidiana

Aunque la simbología del círculo pueda parecer abstracta, puede ser aplicada en nuestra vida cotidiana para ayudarnos a encontrar la armonía y el equilibrio interior. El círculo puede ser utilizado como una forma de meditación, visualizando un círculo de luz alrededor de nosotros para protegernos de las energías negativas y para reforzar nuestra aura.

El círculo también puede ser utilizado como una herramienta de sanación, colocando cristales u otros objetos sagrados en un círculo para amplificar su energía y su poder de sanación. El círculo también puede ser utilizado para crear armonía en las relaciones, creando un círculo de confianza y apoyo con nuestros amigos y nuestra familia.

El círculo en geometría sagrada es un símbolo poderoso que puede ayudarnos a encontrar la armonía y el equilibrio interior. Al comprender el significado profundo del círculo y aplicándolo en nuestra vida cotidiana, podemos reforzar nuestra conexión con el mundo espiritual y encontrar la paz interior. Esperamos que este artículo te haya ayudado a comprender mejor la simbología del círculo en geometría sagrada y a encontrar maneras prácticas de aplicarlo en tu vida.

Símbolos del círculo a través de las culturas

El círculo: símbolo del movimiento perpetuo

El círculo es símbolo del movimiento perpetuo y de la armonía. Su forma redonda y continua simboliza el infinito, la unidad, la eternidad, la perfección y la plenitud. No tiene ni comienzo ni fin, lo que también refleja la noción de ciclo y de renovación. Además, el círculo es también un símbolo del equilibrio y de la armonía, ya que está perfectamente equilibrado en todas las circunstancias.

En muchas culturas, el círculo es un símbolo sagrado. Por ejemplo, en la tradición china, el círculo representa el cielo y la tierra, así como la unidad y la armonía del cosmos. En la cultura amerindia, el círculo sagrado se utiliza durante ceremonias rituales para representar la unidad y la continuidad de la vida. En la mitología nórdica, el círculo sagrado está asociado a la diosa Freyja, que simboliza el amor y la fertilidad.

El círculo es también un símbolo importante en la cultura occidental. Por ejemplo, en la tradición cristiana, el círculo está asociado a la noción de salvación eterna y de perfección divina. El círculo también se utiliza como símbolo en los logotipos de empresas y organizaciones, ya que evoca conceptos tales como la cohesión, la unidad, la armonía y la perfección.

Símbolo universal

El círculo es un símbolo universal que se utiliza desde hace siglos en muchas culturas del mundo entero. La forma redonda está a menudo asociada a la idea del infinito, de la eternidad y de la unidad. El círculo es también un símbolo de completitud, ya que no tiene ni principio ni fin y representa el equilibrio y la armonía.

En muchas culturas, el círculo está también asociado a conceptos tales como la feminidad, la fertilidad y la vida. De hecho, en algunas culturas, el círculo es considerado como un símbolo sagrado de la vida misma. En las culturas amerindias, el círculo es a menudo utilizado en las ceremonias para representar la unidad y la conexión con el mundo natural.

Símbolo del círculo en las culturas occidentales

En las culturas occidentales, el círculo está a menudo asociado a conceptos tales como la perfección, la unidad y el infinito. En el arte y la literatura occidental, el círculo es a menudo utilizado para representar la unidad y la completitud. El círculo también se utiliza en las matemáticas para representar el concepto de pi, que es la constante matemática utilizada para calcular la circunferencia de un círculo.

Símbolo del círculo en las culturas orientales

En las culturas orientales, el círculo está a menudo asociado a conceptos tales como la espiritualidad, la armonía y la meditación. El círculo es a menudo utilizado en los mandalas, que son dibujos geométricos utilizados en la meditación budista e hindú. Los mandalas son a menudo utilizados para ayudar a la meditación y a la concentración, así como para representar el universo y la armonía.

El círculo es un símbolo universal que se utiliza en muchas culturas del mundo entero para representar el infinito, la unidad y la completitud. En las culturas occidentales, el círculo es a menudo utilizado para representar la perfección y la armonía, mientras que en las culturas orientales, el círculo es a menudo utilizado para representar la espiritualidad y la meditación.